モジュラス付き代数的サイクルの計算と整数論への応用

2023 Fiscal Year Research-status Report

• Project/Area Number: 21K03188
• Research Institution: Japan Women's University
• Principal Investigator: 杉山 倫 日本女子大学, 理学部, 講師 (20633233)
• Project Period (FY): 2021-04-01 – 2026-03-31
• Keywords: 数論幾何 / モチーフ理論 / modulus presheaves / テンソル積

Outline of Annual Research Achievements

昨年度までに得られている研究結果、特に加法群２つのmodulus presheafとしてのテンソル積の構造についての結果の応用と、３つ以上のテンソル積について得られている予想の検証を継続して行った。
(1) 昨年度Hochschild ホモロジーの複体をmodulus sheafとしての加法群を用いて定義し、そのホモロジー層についてケーラー微分の層と同型になるであろうという予想（予想１）得ていた。一方で、乗法群およびミルナーK群の接空間についての先行研究から、加法群３つ以上のテンソル積の構造の明確な予想（予想２）を得ていた。これらの予想に関して、予想２から予想１が導かれることを低い次数（３まで）のところで確認できた。今回は直接的な計算によるものであるが、組み合わせ的な議論を用いているため、計算を再検証することで次数を上げていけるのではないかと考えている。
(2) 上記で述べた予想の重要な出発点となったものが、乗法群とミルナーK群の接空間の先行研究であった。そこで、加法群、乗法群、ミルナーK群の層、ケーラー微分の層のmodulus sheaf（または相互層）としての関係をより簡潔に記述するため、「接空間」をとる操作をmodulus sheavesやモジュラス付きモチーフ理論の枠組みで定式化することを目指して研究した。理論の一般のスキームへの拡張という方向があるが、明確な答えには辿り着けていない。
(3) 知り合いの研究者との情報交換により、完全体ではない体を基礎体とする場合の多様体の整数論に、加法群のテンソル積の研究が応用できそうであることが見えた。こちらについては、年度末より継続して情報交換および議論をしている。

Current Status of Research Progress

4: Progress in research has been delayed.

Reason

定式化できた予想２つについて、限定的であるが関係を示せたことは進展であった。また他の研究者との議論、情報交換により、本研究で目標としている整数論への応用の方向が得られたことは大きな進展であった。
しかし、論文として発表できるところまで進めることができていない現状は遅れている状況と言える。
また計画段階の想定よりも教育業務へ費やす時間が非常に多くなっていることも影響を与えている。

Strategy for Future Research Activity

予想の検証を継続して行っていくとともに、整数論への応用についての研究を進めていく。応用面に関して、完全体でない体を基礎体とすることが求められる状況が出てきたため、これまでの結果について、完全体という条件の必要性を改めて検証していくことが必要となってきた。この点については、研究の進捗とともに柔軟に計画を改善していきたい。
一方、昨年度得られたアイデアである「接空間をモジュラス付きモチーフ理論の言葉で記述すること」については、一般のスキームへの拡張が本質的に必要である可能性があり、広く情報収集が必要であると考えている。次年度以降に研究集会などにおいて様々な方と情報交換するとともに、可能であれば共同研究など研究協力者を探していく。

Causes of Carryover

物品費の支出が少なかったことおよび、教育業務多忙により出張をやや制限せざるを得なかったことから旅費の支出が少なかったことが主な理由である。
次年度以降も旅費の支出が主なものとなるが、教育業務軽減のためバイアウト制度を適宜利用していく予定である。