2022 Fiscal Year Research-status Report

Gyro structure on the symplectic lattices and matrix inequalities

Research Project

Project/Area Number	21K03194
Research Institution	Yamagata University
Principal Investigator	早田孝博山形大学, 大学院理工学研究科, 准教授 (50312757)
Project Period (FY)	2021-04-01 – 2024-03-31
Keywords	半単純リー群 / 基本領域 / ジャイロ群 / 正定値対称行列 / 格子
Outline of Annual Research Achievements	半単純リー群における一般化された球充填問題は数の幾何におけるエルミート定数等と関連し、興味深い対象である。そのうち渡部隆夫による行列式型高さ関数による一般化には、古典的な４次の一般線形群のジーゲル放物型部分群に付随する高さ関数が内包され、いわゆるランキン定数に対応するという面で非常に興味を持っているが、ランキン、クーランジェオンに始まるこの対象はまだまだ研究が少ない。しかし特別な場合である階数2のシンプレクティック群の場合は一般化されたエルミート定数が、シンプレクティック格子としてのD4格子により与えられることがわかる。この場合、完全格子のリストも得られる。これは一つには幸運にもジーゲル及びゴットシュリンクの基本領域に関する基礎研究があり、また行列式型高さ関数のアダマール不等式およびエルミート不等式が効果的に働いているという側面がある。この一般化や別のリー群への応用を考えるには、基本領域や行列不等式の基礎研究が不可欠であると思い、ジャイロ群上の不等式やR.バーティアの一連の正値行列の満たす行列不等式を応用することをこの研究では模索中である。また高階のリー群への応用を考える際、階数1のデータも有用であると考えローレンツ群の球充填問題を考えることも有益であると考える。こちらは12次のローレンツ群にはちょうど9種類の完全格子があることなどを得ている。今後の研究の展開として、これらは、E.ビンバーグの類数の計算やD.シキリッチの結果と比較によるとさらに大きい次数への計算が期待できると思う。
Current Status of Research Progress	Current Status of Research Progress 4: Progress in research has been delayed. Reason 理論面においてジャイロ演算に関係する不等式が研究の主要なテーマのひとつであるが、コーシー・シュワルツの不等式やジャイロ積不等式、ジャイロ三角不等式に関して、半単純リー群のカルタン分解からくるジャイロ演算の場合、しかるべき行列群上または対称領域上での証明方法があるのが自然であると考えているがまだ良い着眼点を持っておらず停滞している。昨年より情報収集の状況が改善しておらず、研究連絡や、専門家の意見を伺うことについて満足に行えていないため、その点が進捗状況に影響している。また、昨年に引き続き、発表の機会として予定していた米沢数学セミナーを現在の状況下において開催することができていない点もまた進捗状況に影響している。ローレンツ群のより高い次数における完全格子の計算については、実装に必要になると思われるヒープをはじめとした種々の木構造、整列集合構造、などさまざまなデータ構造と探索などのそのアルゴリズムについての理解を深めることができたと思う。
Strategy for Future Research Activity	今後の研究としては、ひとつには、ジャイロ構造の行列表示と不等式の関連において、ギャップを解消するため、不等式論の考察や一般的状況設定を見直したい。もうひとつの方針として、研究目的のひとつである、シンプレクティック格子の完全格子の探索についても考察を深め、計算の進展を期待したい。昨年も挙げたボトルネックに、格子の同型性の判定がある。球充填問題のような最適化問題における解法において必要な、2つの格子が同型であるかどうかの判定は、あるモジュラー行列によって移りあうかどうかを調べることになる。これを行列の三角分解からわかる最小ベクトルアルゴリズムを利用して判定する。その際のデータの扱いに改善が必要であるという観点から、基本的なアルゴリズムとその実装に関して理解を深めてきたし、さらにて理解を深めたい。全体として専門家との研究連絡を直接行うことの効果が高いと考えてはいるので、情報収集の機会をもっと増やす必要がある。今年度開催される学会や研究集会での機会を探って実現したい。さらに、延期になっている米沢数学セミナーの開催は重要だと位置付けており、次年度以降の開催を模索したい。
Causes of Carryover	研究計画時に予定していた新潟大学への研究連絡が複数回、中止したことおよび、日本数学会の年会、分科会への参加も見送ったこと、およびいくつかの研究集会のオンライン開催になったために、計上していた旅費の使用がなかった。また、大学院生や研究室生の補助を受けて、「人件費・謝金」を利用して行い、計算機システムを援用した計算の研究計画についても、知識の不足のためよりよい設計をすべきという観点からまだ実装の段階でないという判断で実施をしていない。そのため、「人件費・謝金」を利用していない。以上を改善し、次年度において、「旅費」を利用した研究連絡および学会、研究集会への参加を行っての情報収集の実行を計画し、また、研究室生の補助に使用して、研究課題の推進に寄与したいと考える。