2023 Fiscal Year Research-status Report

Gyro structure on the symplectic lattices and matrix inequalities

Research Project

Project/Area Number	21K03194
Research Institution	Yamagata University
Principal Investigator	早田孝博山形大学, 大学院理工学研究科, 准教授 (50312757)
Project Period (FY)	2021-04-01 – 2025-03-31
Keywords	正定値対称行列 / 対称空間 / 半単純リー群 / ジャイロ群
Outline of Annual Research Achievements	正定値対称行列のなす集合においてどのような代数演算を考えうるか、という問いのひとつの解答としてジャイロ群演算がある。これは非結合的であり非可換でもあるが、類似するジャイロ結合則およびジャイロ可換性を満たす。これは半単純リー群のカルタン分解を考えることにより一般化でき、抽象的なジャイロ群に行列レベルで記述される例を提供することから、豊富な数学的対象を持つことがわかる。特にこの実現はジャイレーションが具体的にコンパクト群の作用として明示化され、興味深い。またこれらは自然に非コンパクトリーマン対称空間上の演算をも導く。メビウス和やアインシュタイン積はその一例である。一方、半単純リー群において、ランキン、クーランジェオンによって、ランキン定数や一般完全格子として定式化され、その後渡部によって行列式型高さ関数による球充填問題として定式化された最適化問題に興味を持つ。非自明な例として階数2のシンプレクティック群の場合がある。この場合エルミート不等式による評価が効果的に働き、一般完全格子のリストが得られた。この結果は示唆的であり、一般にボロノイアルゴリズムの適用できる線形の高さ関数の場合と異なり、それにプラスして行列式型高さ関数を扱うための行列不等式による評価が必要である。これを指針とし、適切な行列不等式とその適用を模索する。未だ主たる結果は得ていないが、方策のひとつとして非線形な構造をもつジャイロ群上の構造に着眼した。ジャイロ群上の不等式やR.バーティアの一連の正値行列の満たす行列不等式の中から応用可能なものがあると展望する。
Current Status of Research Progress	Current Status of Research Progress 4: Progress in research has been delayed. Reason 進捗状況は遅れている。完全格子を計算するアルゴリズムにおいて、必要なデータ構造とそれらを扱うアルゴリズムについての理解は進んでいると考えるが、まだまだ多くの知識と経験値が必要な段階であり、計算量を考慮した実装までは距離がある。もうひとつの研究の主要なテーマであるジャイロ演算に関係する不等式の構築においては、その証明を行うべく、専門家の意見を伺うことや情報収集を徐々に実施しはじめてはしている。フルヴィッツ・ラドン定数などの新たな知見を得ることができた点は進んだともいえるが、昨年より状況が大きく改善しているとは言い難く、研究連絡なども満足に行えていなかった。次年度は、米沢数学セミナーの開催を行えそうな状況になり、進捗状況の改善を見込んでいる。
Strategy for Future Research Activity	今後の研究としては、遅れている状況を徐々に改善していきたい。まず、ジャイロ構造の行列表示と不等式の関連において考察を深めたい。また、研究目的のひとつである、シンプレクティック格子の完全格子の探索についても考察を深め、計算の進展を期待したい。いままでより、データの扱いやアルゴリズムの扱いにおいて、ダイナミックプログラミングを援用する点やリスト処理の効率化について、理解が深まったと感じているので、格子の同型性の判定部分についても改善を行い、全体の計算量改善に寄与したい。今年度、開催される研究集会や学会での情報収集も問題無く行える予定であり、引き続き行っていきたい。また、次年度は米沢数学セミナーの開催を行うことで研究の推進に寄与することが期待できると思う。
Causes of Carryover	研究計画時に予定していた日本数学会の年会、分科会への参加および情報収集は行うことはできたが、研究の進捗の遅れのため、新潟大学への研究連絡を複数回行う予定を実施することなく終わった。そのため、予定していた旅費の使用が一部に留まった。また研究会の主催開催を延期したため、専門知識の提供のための支出および人件費・謝金の支出も無かった。人件費・謝金を利用して大学院生や研究室生と行う予定であった計算機システムを援用した計算も延期したため、使用が無かった。次年度においては、以上の点において改善をすすめ、研究連絡および学会、研究集会への参加を行っての情報収集、研究連絡などを実施し、研究課題の推進に寄与したいと考える。