2023 Fiscal Year Research-status Report
Research on vertex operator algebras by using Conway groups
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21K03195
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| Research Institution | University of Tsukuba |
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Principal Investigator |
宮本 雅彦 筑波大学, 数理物質系(名誉教授), 名誉教授 (30125356)
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| Project Period (FY) |
2021-04-01 – 2025-03-31
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| Keywords | コンウエイ群 / 表現論 / 正則頂点作用素代数 / 軌道理論 / 自己同型群 / ムーンシャイン現象 / リーチ格子 / 一般深洞 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
中心電荷２４の正則頂点作用素代数の分類問題は、頂点作用素代数が導入された１９８０年代からの重要な問題の一つであり、研究代表者も３０年前から、研究の主目的の一つとして取り組んできた。その分類研究はこの２０年ほどの間に大きな進展を遂げ、ウエイト１の空間によるリー代数などの内部構造による分類や、自己同型群による変形、トレイス関数の保系性を利用した方法等、いろいろな手法を用いることで、それらの手段が使えないムーンシャイン型と呼ばれる特別な例を除いて、個別計算ではあるが、一応の分類が完成した。ただその研究途中で発見されたヘーン観測のような不思議な現象も出てきており、真の解決とは言えなかった。本研究では、格子を利用した頂点作用素代数研究のラム教授（台湾中央研究院）と有限群研究者の千吉良教授（熊本大学）との研究で、ランク２４の正則格子の分類において非常に美しい方法と理解されている「リーチ格子の深洞を利用したHolly constructionを拡張し、リーチ格子の自己同型群であるコンウエイ群の元によって固定されたリーチ格子の深洞（これが自己同型に過ぎないのに一般深洞と呼んでいたものの真の姿であることを示した）を利用して、ムーンシャイン加群以外の正則頂点作用素代数の分類（完全な１対１対応）を完成させ、さらに不思議な関係を思われていたヘーン観測の真の意味を説明し、ムーンシャイン型以外の分類問題に対する最終回答を得た。すなわち、コンウエイ群そのものが、中心電荷２４の正則頂点作用素代数の分類を与えていることを示したのである。これにより、分類問題は、ムーンシャイン型の頂点作用素代数の一意性の証明という頂点作用素代数の初期の段階からの大きな問題に帰着されるが、これまでの分類研究を通して得てきた知識や手法は、この問題に正面から取り組むことを可能にしている。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
3: Progress in research has been slightly delayed.
Reason
ここ数年、コロナにより国際交流ができず、共同研究を行っている台湾中央研究院のラム教授やカリフォルニア大学サンタクルツ校のドン教授グループとの議論ができなかったので、研究計画はかなり遅れていた。しかし、最近はラム教授との交流はW代数関係のクロアチアの Admovic教授、ローマ大学のPaulo教授などとの交流も進み、かなり遅れを取り戻している。
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| Strategy for Future Research Activity |
ムーンシャイン型以外の正則頂点作用素代数の分類が完成し、頂点作用素代数出発点からの問題であるムーンシャイン型の頂点作用素代数の一意性の証明を目指す。これまでの議論により、モンスターリー代数を利用することで、この問題に正面から取り組むことが可能になったと判断しており、台湾のラム教授、クロアチアの Adamovic 教授、カナダのGannon教授と議論を進めて、数年以内に完成させたいと考えている。
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| Causes of Carryover |
コロナのために、国際研究集会への参加、および海外からの招へいができなかったために、計画の一部が遅れたため。最近、本研究の成果が評価されて、シシリアでの国際研究集会での講演を依頼されているため、今年度に、そこで研究成果を発表するとともに、台湾のラム教授、中国のQuipo教授、カナダのGannon教授との議論を深めるため使用する予定である。
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