L関数たちの集合に対する値分布とその応用

2021 Fiscal Year Research-status Report

• Project/Area Number: 21K03196
• Research Institution: Gunma University
• Principal Investigator: 名越 弘文 群馬大学, 大学院理工学府, 准教授 (70571165)
• Project Period (FY): 2021-04-01 – 2024-03-31
• Keywords: L関数 / ゼータ関数 / 値分布

Outline of Annual Research Achievements

リーマン・ゼータ関数やL関数たちの値分布論において，Voroninにより発見された普遍性と呼ばれる性質やそれをさらに強くした同時普遍性と呼ばれる性質が知られている。これまで，この分野の研究は，複素変数の虚部を動かすといういわゆるt-aspectと呼ばれる場合の研究がほとんどであった。以前に，研究代表者は見正秀彦氏との共同研究で，実指標たちに付随するディリクレL関数たちの族に対して同時普遍性を証明した。その研究においては，s=1での同時値分布についても考察し，二次体たちの類数たちに対して，同時稠密性の結果を得た。本年度は，その研究に続くものとして，それらのディリクレL関数たちの対数たちの導関数たちに対して，同様な考察を行った。特に，1階導関数の場合は，二次体たちのEuler-Kroneckerの定数たちに関連するものであり興味深い。このような同時値分布を考えることにより，結果として，二次体たちに対し類数たちとEuler-Kroneckerの定数たちの同時分布に関してある程度の成果を得ることができた。
さらに，遠藤健太氏，井上翔太氏と研究代表者の共同により，リーマン・ゼータ関数の対数に対するn階の不定積分についてnに関する同時版の値分布を考察した。特に，遠藤健太氏と井上翔太氏によって以前に得られていた結果の拡張を得た。また，その研究の系として，リーマン・ゼータ関数の対数に対するm階の導関数とn階の不定積分についてmとnに関して同時の関数的独立性の結果も得た。導関数たちだけの場合はVoroninによって以前に得られていて，本結果はVoroninの結果の拡張となる。

Current Status of Research Progress

2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.

Reason

本年度に得られた成果たちは，研究計画調書において申請期間の前半で予定していた内容の一部を含んでおり，また，申請期間の後半で予定していた内容の一部も含んでいる。このように研究の進捗状況は当初の予定そのものとは異なっているが，本研究課題全体としてはおおむね順調に進展していると考えられる。

Strategy for Future Research Activity

次年度においては，本年度に得られた成果たちを論文にまとめる。また同時に，研究計画調書において申請期間の前半で予定していた内容のうち残された課題を重点的に推進していく。当初の計画に沿って，および，新たに生じた関連する課題にも着目し，研究を行う予定である。当初の計画を大幅に変更する必要はない。