2021 Fiscal Year Research-status Report
半無限旗多様体の同変 K-群とアフィン量子群のレベル・ゼロ表現の研究
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21K03198
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| Research Institution | Tokyo Institute of Technology |
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Principal Investigator |
内藤 聡 東京工業大学, 理学院, 教授 (60252160)
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2021-04-01 – 2026-03-31
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| Keywords | 代数学 / アフィン量子群の表現論 / アフィン・リー環の表現論 / レベル・ゼロ表現 / 半無限旗多様体 / 旗多様体の量子 K-群 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
複素単純代数群に付随する無限次元代数多様体である半無限旗多様体の(極大)トーラス同変 K-群は、有限次元旗多様体のトーラス同変量子 K-群と同型である事が知られている。これらの K-群における積 (テンソル積及び量子積) 構造は、トーラスの表現環上のこれらの K-群の加群構造と、反優整基本ウエイトに付随する直線束とのテンソル積及び量子積によって一意的に決定される。反優整基本ウエイトに付随する直線束とのテンソル積及び量子積を記述する Chevalley 公式は、D. Orr 教授 (Virginia 工科大学)、佐垣大輔教授 (筑波大学) とのこれまでの共同研究によって既に証明されていて、それは量子 Lakshmibai-Seshadri パスによって記述される。
一方で、トーラスの表現環上のこれらの K-群の加群構造は、整ウエイトに対する Chevalley 公式を逆に解く事で得られる逆 Chevalley 公式により記述されるのであるが、それについてはこれまでは特殊なウエイトである minuscule ウエイトの場合にのみ、D. Orr 教授、佐垣大輔教授との共同研究によって結果が得られているに過ぎなかった。その主要な原因は、逆 Chevalley 公式を記述するための適切な言葉が見いだせていなかった事にある。
本年度の研究成果として、C. Lenart 教授 (New York 州立大学 Albany 校)、D. Orr 教授、佐垣大輔教授との共同研究により、新しい組合せ論的対象物である "decorated 量子 walks" を導入し、それによって A, D, E 型の複素単純代数群に付随する半無限旗多様体のトーラス同変 K-群における任意の整ウエイトに対する逆 Chevalley 公式を記述し、そしてこの公式を証明する事が出来た。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
複素単純代数群に付随する半無限旗多様体の(極大)トーラス同変 K-群の構造の研究において最も重要な役割を果たすものは、この K-群のテンソル積構造に関する Chevalley 公式と、(極大)トーラスの表現環上のこの K-群の加群構造に関する逆 Chevalley 公式という、二種類の公式である。これらのうちで K-群のテンソル積構造に関する Chevalley 公式については、これまでの我々の研究で既に一般の場合が証明されている。
残された課題である逆 Chevalley 公式については、本年度において、A, D, E 型の複素単純代数群に付随する半無限旗多様体の場合には、一般のウエイトに対する公式を証明する事が出来た。これは、本研究課題における非常に大きな研究成果であると考えられるので、現在までの進捗状況はおおむね順調に進展していると言える。
一方で、B, C, F, G 型の複素単純代数群に付随する半無限旗多様体の場合には、逆 Chevalley 公式の記述に必要となると予想される decorated 量子 walks の定式化すら未だ出来ていない状態であり、その意味では今後の進捗状況は予断を許さない。
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| Strategy for Future Research Activity |
A, D, E 型の複素単純代数群に付随する半無限旗多様体に対しては、新しい組合せ論的対象物である decorated 量子 walks を導入する事によって逆 Chevalley 公式を記述し、それを証明する事ができた。しかし、B, C, F, G 型の複素単純代数群に付随する半無限旗多様体に対しては、逆 Chevalley 公式はその定式化すら未だされていない。その主要な原因は、A, D, E 型でない複素単純代数群の場合には、decorated 量子 walks をどのように定義すれば良いのかが分かっていない事にある。
そこで、先ずは最も扱いやすいと考えられる C 型複素単純代数群の場合に decorated 量子 walks の正しい定義を見いだし、それを基にして半無限旗多様体に対する逆 Chevalley 公式を定式化し、それを証明する事を考えている。そのためには、共同研究者である D. Orr 教授 (Virginia 工科大学) と協力して nil-DAHA (double affine Hecke 環) の多項式表現を用いて minuscule ウエイトの場合を詳細に考察し、この特殊な場合に decorated 量子 walks の正しい定義を見いだし、さらにそれらが Yang-Baxter 変換によってどのように変化するかを調べ、その結果に基づいて一般のウエイトの場合の decorated 量子 walks を定式化する必要がある。
C 型複素単純代数群の場合の decorated 量子 walks の定式化が見いだせれば、それを他の B, F, G 型の複素単純代数群に対して拡張する事はそれ程困難ではない筈なので、これらの複素単純代数群に付随する半無限旗多様体に対する逆 Chevalley 公式の証明も可能になると期待される。
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| Causes of Carryover |
本年度は、コロナ禍において、海外及び国内における関連分野のほとんど全ての研究集会が開催中止となったりオンライン開催のみとなった。また、国外の共同研究者たちと研究打合せを行うための海外出張も実施が困難な状況であった。このような状況のため、実際の海外及び国内出張がほとんど実行されず、海外及び国内出張の費用として使用する予定であった研究打合せ旅費の大半が未使用のまま残される形になった。これが、今回多額の次年度使用額が生じた主な理由である。
一方で、来年度には、私は "Conference on Algebraic Representation Theory 2022" という国際研究集会を、筑波大学において対面とオンラインのハイブリッド形式で開催する計画を立てている。そして、この国際研究集会開催のための諸々の準備や、海外及び国内からのこの研究集会への参加者への旅費を含めた各種補助のために、次年度使用額と翌年度分として請求した助成金を合わせて使用する予定である。
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Research Products
(4 results)
