2021 Fiscal Year Research-status Report
Arakelov geometry over adelic curves
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21K03203
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| Research Institution | Kyoto University |
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Principal Investigator |
森脇 淳 京都大学, 理学研究科, 教授 (70191062)
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| Project Period (FY) |
2021-04-01 – 2026-03-31
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| Keywords | アラケロフ幾何 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
パリ大学の陳氏と共同研究を進め、アデリック曲線上でのヒルベルト・サミュエル公式の証明が完成し、論文としてまとめた。具体的には以下の通りである。体 K の適正なアデリック構造 S = (K, (Ω,A,ν),ψ) を固定する。X は K 上の幾何学的に既約なd次元の射影代数多様体とし、(L, φ)は X 上の L が豊富であるアデリックな直線束とする。このとき、deg(H^0(X, L^n), ξ_{nφ})が考えることができ、deg(H^0(X, L^n),ξ_{nφ})/(n^{d+1}/(d+1)!)の n に関する極限値が存在するこがわかる。それを(L, φ)の算術的な χ-体積と呼び、vol_{χ}(L, φ)で表す。一方、前の論文において、S 上の算術的交点数 ((L, φ)^{d+1})_S を定義した。ヒルベルト・サミュエル公式とは、vol_{χ}(L, φ) = ((L, φ)^{d+1})_S を主張するものである。通常の代数幾何学おいて、これはリーマン・ロッホの定理の帰結であり、K が代数体の場合は算術的リーマン・ロッホの定理から導かれる。vol_{χ}(L, φ) ≧ ((L, φ)^{d+1})_S は、ヒルベルト・サミュエルの不等式と呼ばれるもので、当初、この証明を X の射影空間への射影を用いて成功することができた。応用上はこの不等式で十分であったので、逆の不等式の証明は次の課題として扱う予定であったが、自明な絶対値上のアラケロフ幾何を用いることで、逆の不等式の証明ができることが判明した。このアイデアは、古典的な代数体上の算術的ヒルベルト・サミュエル公式を考えても、全く新しい画期的な証明を与えるものであることが判明した。今後、さらに研究を推し進め、当分布定理等の種々の応用を考えて行きたい。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
1: Research has progressed more than it was originally planned.
Reason
今年度にアデリック曲線上での交差理論を完成し、ヒルベルト・サミュエルの不等式 vol_{χ}(L, φ) ≧ ((L, φ)^{d+1})_S を完成できれば順調かと考えていたが、予想に反して，ヒルベルト・サミュエルの等式vol_{χ}(L, φ) = ((L, φ)^{d+1})_S まで完成した。ヒルベルト・サミュエルの不等式の逆の不等式を証明するため、自明な絶対値上のアラケロフ幾何を用いるという画期的なアイデアを用いている。これは、古典的な代数体上の算術的ヒルベルト・サミュエル公式を考えても、全く新しい手法を与えていると言える。以上の観点から、当初の計画以上に進展していると判断した。
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| Strategy for Future Research Activity |
応用を目指したい。ますそのためには、アデリック曲線上のヒルベルト・サミュエルを用いることで、種々のアデリック直線束の算術的交点数の非負性について考察を深める必要がある。これについてはパリ大学の陳氏と共同研究を進めている。これらが、うまく完成すると、代数体の場合の一般化になる当分布定理等の真にディオファントス幾何学に応用につながる結果が導きだせると考えている。
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| Causes of Carryover |
コロナ禍で、共同研究者と研究打ち合わせのための海外出張が思うようにできず予算の執行ができなかった。
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