2021 Fiscal Year Research-status Report
On sums of arithmetic functions involving gcd-sum functions
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21K03205
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| Research Institution | Yamaguchi University |
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Principal Investigator |
木内 功 山口大学, 大学院創成科学研究科, 教授 (30271076)
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| Project Period (FY) |
2021-04-01 – 2025-03-31
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| Keywords | gcd和関数 / 数論的関数 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
GCD和関数(最大公約数を含む総和関数)及び関連する話題の研究は、整数論において重要な研究課題の一つであり、多くの場合は、初等的な方法（指数対、小数に関する定理）で興味深い結果が得られ、その活躍の分野は多岐にわたる。特に、Dirichlet の約数問題との深い関連性や、対応する GCD和関数の代数的解析的性質や多次元化されたGCD和関数を利用した様々な整数論への応用が存在する。これらの研究は、古典的な問題設定ながら、現在でも活発に研究が行われている重要な分野である。本研究では、このような状況の中、現在までのGCD和関数の手法及び結果を新たなる対象と捉え、解析学（関数論、実解析等）の理論と初等的な理論を融合し、巧妙な計算方法を考察した。特に、GCD和関数の総和公式の誤差項と約数問題(一般化されたDirichlet, Piltzなどの場合)の誤差項が、ゼータ関数の零点、平均値定理と密接な関係を導いた。また、多様な方面（幾何学的と解析学的な側面）との応用・展開を図り、GCD和関数の多次元化が、Richertの約数問題(Piltzの約数問題一般化)と密接な関係にあることを発見した。この手法の計算方法は複雑で、精密な解析学の方法により得られている。さらに、Anderson-Apostol 型の一般化されたRamanujan 和のある種の総和公式に解析学の理論を応用して、squarefull、cubefull数の場合について考察し、精密な漸近公式を求めた。この研究は、これまでにない新たな問題として提案され、多岐にわたる課題を多く含んでいる点で今後の研究課題となりうる。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
1: Research has progressed more than it was originally planned.
Reason
一般化されたRamanujan 和に着目することで、計画道りの成果を上げている。
特に、squarefull, cubefull 数に関するある種の2重和公式を求めた。
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| Strategy for Future Research Activity |
GCD和関数の総和公式の誤差項と約数問題(一般化されたDirichlet, Piltzなどの場合)の誤差項が、ゼータ関数の零点、平均値定理と密接な関係はすでに導いたが、その精密性は今後の課題である。また、GCD和関数の多次元関数の総和公式は、Richertの約数問題(Piltzの約数問題一般化)と密接な関係にあることを深部にあるまで考察していく。Anderson-Apostol 型の一般化されたRamanujan 和のある種の総和公式に解析学、実解析の理論を応用して、squarefull、cubefull数の場合について精密な漸近公式を求めたが、短区間における総和公式は今後の課題である。これらの研究は、今後の新たな問題として提案し、多岐にわたる課題を多く含む故、今後の研究課題となる。
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| Causes of Carryover |
使用予定のパソコンの入荷ができなかった。また、昨年度の国内環境が対面での研究打ち合わせを妨げていた。昨年度使用できなかった経費については、入荷予定しているパソコンと研究打ち合わせ、研究成果発表等に使用する予定である。
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Research Products
(1 results)
