2023 Fiscal Year Research-status Report
On sums of arithmetic functions involving gcd-sum functions
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21K03205
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| Research Institution | Yamaguchi University |
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Principal Investigator |
木内 功 山口大学, 大学院創成科学研究科, 教授 (30271076)
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| Project Period (FY) |
2021-04-01 – 2025-03-31
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| Keywords | gcd / 数論的関数 / リーマンゼータ関数 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
ＧＣＤ和関数（最大公約数を変数とする２変数関数の和関数をいう）を含む総和公式について、初等整数論の立場から考察する方法と解析的理論の立場から考察する方法がある。本研究ではこれらを融合することで、様々な数論的関数の性質を解明することにある。しかしながら、今年度の研究実績は、解析的な方法を利用して得られた結果となった。以下詳細に述べる。１．Ａｎｄｅｒｓｏｎ－Ａｐｏｓｔｏｌ和はＲａｍａｎｕｊａｎ和の一般化であり、様々な分野で用いられている。 本研究では、ｓｑｕａｒｅｆｕｌｌ ｎｕｍｂｅｒｓを用いた２変数の２重和としてＡｎｄｅｒｓｏｎ－Ａｐｏｓｔｏｌ和を定義して、２重和の部分和公式を解析学の方法とＲｉｅｍａｎｎゼータ関数の解析的性質を利用して求めたものであり、昨年度の研究結果の一部改良を与えている。２．昨年度の求めたｓｑｕａｒｅｆｕｌｌ ｎｕｍｂｅｒｓに関する方法をｃｕｂｅ－ｆｕｌｌ ｎｕｍｂｅｒｓに適用したものであるが、まったく同様にはできず、解析的方法を駆使しながら求めた。３．ｍｎ＜ｘを満たすＺｍ＊Ｚｎの部分群の個数に関する和公式は， Ｓｕｉ－Ｌｉｕによって最近、考察されている。ここでは、重み関数として対数関数を利用した和公式を求めた。このことで、彼らの結果の予想の確からしさを示した。さらに、Ｒｉｅｍａｎｎゼータ関数の零点との密接な関係を示すまでには到達していないが、来年度を見据えて具体的に表記することを目指す．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
研究集会等に積極的に参加し、討論することで十分な知識と好奇心、発想が沸いている。また、出先にある豊富な情報（図書、資料等）を十分に活用することで研究に役に立っている。
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| Strategy for Future Research Activity |
今年度の研究実績でも述べたように、初等的な方法と解析的な方法を融合した結果に今のところ結びついていないが、しかし、Riemann 予想と零点の1位を仮定すれば、融合的な結果を得ている（投稿中）。これまでの研究方法を大幅に見直して、新たな方法の開拓に努める。
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| Causes of Carryover |
予定していた研究集会の開催が中止になり、研究費を使用することができなかった。また、学内業務が忙しいため、予算の使用ができなかった。それに伴い、研究発表を積極的に行い共同研究者との打ち合わせを密にする。
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