2022 Fiscal Year Research-status Report
Arithmetic and combinatorial study on multiple zeta functions from the viewpoint of symmetric functions
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21K03206
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| Research Institution | Ehime University |
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Principal Investigator |
山崎 義徳 愛媛大学, 理工学研究科(理学系), 教授 (00533035)
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| Project Period (FY) |
2021-04-01 – 2025-03-31
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| Keywords | 多重ゼータ関数 / Schur 関数 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本研究の主研究対象は Schur 多重ゼータ関数である。これは、表現論や組合せ論など数学の様々な分野で重要な役割を果たす Schur 関数のゼータ関数類似であり、比較的最近導入された新しい研究対象である。本年度は、昨年度に引き続き Schur 多重ゼータ値の和公式について研究を行った。ここで和公式の研究とは、shape と重さを固定したときに、それらを持つ Schur 多重ゼータ値全体の和がどのような "良い" 表示を持つか、について調べる研究であると言える。Euler-Zagier 型多重ゼータ値・多重ゼータスター値の場合は、その和が Riemann ゼータ値の整数倍になるので、ではそれらの拡張である Schur 多重ゼータ値の場合はどうか、という問いに答えることが目的である。昨年度は shape が ribbon 型の場合にのみ研究を行ったが、本年度は、その場合に加え、shape が角を1つだけ持つ場合についても研究を行った。具体的に得られた結果としては、例えば上記和を行列式を使って明示的に表示する公式の導出や、(Schur 多重ゼータ値の間の関係式ではなく、) 上記和の間の組合せ論的な関係式の導出などが挙げられる。なお、これらについては、報告者が過去の共同研究で得た Schur 多重ゼータ関数に関する Jacobi-Trudi 公式が本質的に使われている。また、得られた結果は論文にまとめて然るべき雑誌に投稿した。以上は名古屋大学の Henrik Bachmann 氏、新居浜高専の門田慎也氏、立教大学の鈴木雄太氏、慶應義塾大学の山本修司氏との共同研究である。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
Schur 多重ゼータ関数の研究は、経験的に shape が持つ角の個数が増えるにつれて研究が難しくなる印象がある。その意味では、今回角が1つの場合に Schur 多重ゼータ値の適切な和が良い性質を持つことを示すことができたことは、本研究の方針が適切に設定され、実際に実行されたことをサポートするものであると言える。さらに、本研究は今後より一般の場合を考察する際のアイデアの基礎となる可能性を十分に秘めており、それゆえ重要な進展であると考えられる。また、作成まで少し時間がかかってしまったが、結果を論文にまとめて投稿できた点も進展の理由として挙げられる。
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| Strategy for Future Research Activity |
和公式に関して言えば、本年度の流れを汲んで shape が持つ角の個数が一般の場合を考察することもできる。しかし、いきなり一般の場合に取り組むには議論やアイデアがまだ足りていないと考えられるため、まずは角の個数が2個や3個の場合に、数値実験等を含めた具体的な計算を実行し、一般化にあたってどのような議論が必要になるかを見極めることから始める。また、和公式以外にも、Schur 関数に由来する様々な関係式を Schur 多重ゼータ関数に拡張する、あるいは類似物を構成する、という研究課題があり、それについても継続して研究を進める。
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| Causes of Carryover |
新型コロナウイルス感染拡大の影響で、昨年度は旅費として計上していた経費を使い切ることができず、本年度に大きく繰り越してしまった。その分は本年度でも使い切ることができず、それが理由で今回も次年度への繰り越しが生じた。今後は現地開催される研究集会等も多数あると聞いているので、繰り越した分については基本的には旅費として使用する予定である。それが難しい場合は、専門書等を購入するための物品費として使用する。
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