2023 Fiscal Year Research-status Report
（導来）箙Heisenberg代数の表現論と圏論的幾何学
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21K03210
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| Research Institution | Osaka Metropolitan University |
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Principal Investigator |
源 泰幸 大阪公立大学, 大学院理学研究科, 准教授 (50527885)
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| Project Period (FY) |
2021-04-01 – 2025-03-31
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| Keywords | 箙Heisenberg代数 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本研究では（滑らかな）微分次数付代数(DGA)とそのホッホシルトホモロジー類にからDerived quiver Heisenberg algebra (DQHA)と呼ばれるDGAを構成し、その性質を調べることが目的であった。道代数に対する前射影的代数の逆双対加群のテンソル代数としての構成をDGAに一般化したものがKellerによるCalabi-Yau completionであった。DQHAは私とHerschend氏による共同研究で導入した道代数にたいするDQHAの構成をDGAにたいして一般化することを目指して定義した。道代数のDQHAは具体的な生成元と微分（微分次数付き箙）から構成されていたもので、諸性質はそれを用いた具体的で（ある場合には複雑な）計算により示されていた。一般化されたDQHAはテンソル代数の様な方法で構成されるので、期待される性質を示すのに新しい手法を開発する必要があった。本年度はそれについて研究していた。道代数のDQHAでは網目元（網目関係式を定義する元）がホモトピー中心的（ホモトピーを法として全ての要素と可換）になることを示していた。道代数の（導来ではない）QHAでは定義から網目元が中心的であったことから納得できる性質である。一般のDQHAに対しても網目元に相当する元は定義されるが、これがホモトピー中心的であるのか否か、そう期待すべきか否かも不明であり暫くの懸案であった。本年度一番の結果はこれを肯定的解決に一歩前進したことであろう。大雑把に言えば網目元と生成元がホモトピー可換であることを示したのである。証明には非可換両側接続とでも呼ぶべきものが現れる。非可換接続というものは幾人かの研究者により導入され研究されているが、知る限り両側版は新しいものなのでこれ自体も興味深いと言えるだろう。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
3: Progress in research has been slightly delayed.
Reason
上述の通り、DQHAの一般的な性質は解明されてきているが、その圏論幾何的側面を明らかにするという当初の目的にはまだ到達できていない。研究実績の概要で述べた、非可換両側接続というのは、微分幾何における接続の非可換代数的類似物であるが、これは研究目標に掲げていた圏論的幾何とは、とりあえず、別のものである。様々な研究を見ていると関係なくも無いようなので、今後の研究の課題としたい。
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| Strategy for Future Research Activity |
直近の目標は、DQHAの網目元がホモトピー中心的であると示すことである。研究実績の概要で述べた、網目元と生成元がホモトピー可換ということから一般的な議論で証明できると期待している。それを証明した後には、DQHAの圏論幾何的な側面を研究していきたい。
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| Causes of Carryover |
研究が滞っていたので、出張をしなかった。コンピューターを買い替える予定だったが目ぼしいものを見つけることが出来なかったため。
今年度は、研究を進め、出張もし積極的に研究交流を行い、パソコンも買い替える。
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