2021 Fiscal Year Research-status Report
Analysis of the Topological Structure of the functor category of Cohen-Macaulay modules and its applications to representation types of algebras
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21K03213
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| Research Institution | Kure National College of Technology |
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Principal Investigator |
平松 直哉 呉工業高等専門学校, 自然科学系分野, 准教授 (20612039)
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| Project Period (FY) |
2021-04-01 – 2025-03-31
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| Keywords | 関手圏 / Cohen-Macaulay加群 / 加算CM表現型 / Krull-Gabriel次元 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本研究の目的は「極大コーエン・マコーレー(MCM)加群の安定圏の関手圏の位相構造を解析することによって、位相幾何学的な構造からCM加群の表現型を特徴付ける」ことである。一般に加群を分類することは不可能だが、加群を関手の零点と見なすことで関手圏に位相空間を定義することができる。それによってMCM加群の大域的な分析が可能になる。関手圏の位相空間を考えることで加群の表現型を位相的な性質に翻訳することができるので、表現型理論において重要な意味をなす。
2021年度はD加算表現型をもつ超曲面環上のMCM加群の安定圏の関手圏のクルル-ガブリエル次元について考察をした。これまでに得られているA加算表現型の議論を適用し、任意次元のD加算表現型をもつ超曲面環上のMCM加群においてはクルル-ガブリエル次元が2であることがわかった。これはLosとPuninskiの2019年の結果の類似を与える。我々の結果は2次元の場合にクルル-ガブリエル次元を計算し、その結果を任意次元に拡張する。その際、超曲面環上のMCM加群圏の考察で主流であるクネーラの周期性とクルル-ガブリエル次元の関係を精査し、結果としてクネーラの周期性を与える関手によってクルル-ガブリエル次元は不変であることがわかった。以上のことについて、論文を執筆し投稿中である。
一般的にクルル-ガブリエル次元を計算するのは困難であり、その具体的な計算を与えたこと、またクネーラの周期性とクルル-ガブリエル次元の関係を明確にしたことについて、本結果は意義があると考えられる。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
3: Progress in research has been slightly delayed.
Reason
実績の概要でも述べたように、計算が困難なクルル-ガブリエル次元の具体的な計算を与えたこと、これまでの考察と合わせて、有限表現型、加算表現型をもつ超曲面環上のMCM加群の関手圏のクルル-ガブリエル次元を完全に決定できたことは評価できる。しかしながら上記の考察は有限生成なMCM加群であり、当初の計画にあったMCM加群の関手圏の幾何学的な考察（幾何学的な構造を導入するためには無限生成まで含めて考える必要がある）にまでは至っていない。以上の理由からやや遅れていると判断した。
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| Strategy for Future Research Activity |
これまでの先行研究の文脈に則ると加群の関手圏に幾何学的構造を導入するには無限生成加群の枠組みで考察する必要がある。無限生成MCM加群（Large MCM 加群）について考察されたH. Holmの2017年の論文やPuninskiの2018年の論文などの先行研究から得られている無限生成MCM加群の結果を用いて、無限生成MCM加群の関手圏の幾何学構造の考察を試みる。
他方、加算表現型をもつ超曲面環のクルル-ガブリエル次元の考察においてクルル-ガブリエル次元が2であることをあたえる関手（加群）は概分裂完全列をもたなかった現象を踏まえ、孤立特異点をもつ局所環上のMCM加群圏の関手圏のクルル-ガブリエル次元は1以下かという問題を考察する。（孤立特異点をもつ局所環上においては全ての直既約なMCM加群は概分裂完全列をもつ。）
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| Causes of Carryover |
新型コロナウイルス感染症によるパンデミックのため、関連する国際会議、学会等が中止または延期、オンライン開催などに変更になったため、出張を取りやめたために差額が生じている。2022年度の使用計画としては書籍や論文複写購入費、また可能であれば新型コロナウイルス感染症への対策を徹底した上での研究打ち合わせやセミナー等の出張旅費として使用する。
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