2022 Fiscal Year Research-status Report
Research on integrable geometry and submanifolds
| Project/Area Number |
21K03214
|
|---|
| Research Institution | Tohoku University |
|---|
Principal Investigator |
宮岡 礼子 東北大学, 理学研究科, 名誉教授 (70108182)
|
|---|
| Project Period (FY) |
2021-04-01 – 2024-03-31
|
| Keywords | 等径超曲面 / ガウス写像 / フレア理論 / ラグランジュ部分多様体 / 極小曲面 / 除外値問題 / Chern予想 / Dupin超曲面 |
|---|
| Outline of Annual Research Achievements |
可積分幾何に関して，球面S^{n+1}内の等径超曲面Nのガウス像Lの位相のフレアホモロジーの計算で未解決部分の解決を目指した．まずN自身のコホモロジーの計算を新たな手法「Nを焦部分多様体F上の球面束として捉え，Thom-Gysin完全列を適用する」により行い成功した.従来はNがS^{n+1}を二つの円板束に分解することを用いるMunznerによる計算があるが，新しい方法では外部空間S^{n+1}の性質を用いないので，より多くの空間における等径超曲面の位相の計算にも適用可能である.また，ガウス像Lの位相の計算という本来の目的にも適用して部分的に成功した.LはNを有限巡回群Z_gで割った構造をもち，gが素数であればある程度計算ができるが，ここではg=4,6が問題なので，幾何学的な構造を反映した計算が必要となる.特にg=4に現れるClifford代数の表現に随伴する等径超曲面は非等質な例を無限に含み，幾何学的にも大変興味深い対象である.この場合の構造をかなりの段階まで明らかにした.特別な場合はLのコホモロ ジーという最終目的まで計算ができ，さらに最終目的であるFloerコホモロジーの計算に繋げる可能性を得た.これらの研究は大阪公立大の大仁田義裕教授，茨城大の入江博准教授とともに，Zoom検討会で継続して議論してきたが，今後は対面検討で研究を加速する.
極小曲面に関する課題として，2次元戸田方程式の周期解を用いた複素射影空間におけるラグランジュ極小曲面の研究，および代数的極小曲面のガウス写像の除外値問題がある.前者については徳島大の國川慶太氏と議論している.後者については名大の小林亮一教授と研究しているが Nevanlinna理論を円板上で構築するという非常に難解な議論になっているので，普遍被覆に上げない議論についても検討中である.
新たな課題としては，極小超曲面に関するChern予想をDupin超曲面について検討し，目処を得ている．
|
| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
いずれの課題も数年来継続して研究している.短期間で片付く簡単な課題ではないので，一歩ずつ前進という意味でおおむね順調である. 等径超曲面のガウス像のコホモロジーについては，単連結でない場合にさまざまなスペクトル系列を用いた議論を試しているが，問題の本質的困難性が明らかになってきた.単連結でない場合の扱いへの挑戦は本課題の肝と言える.
ラグランジュ極小曲面論は可積分系理論と結びつき，ティツァイカ方程式などが現れ興味深い.他方，複素射影空間内の複素曲線論との対比という点でラグラン ジュ極小曲面の独自性をどこに見るかが問題である.曲面論の立場から具体的に調べている.
ガウス写像の除外値問題については，最近極小曲面の書籍を執筆したことによりさまざまな古典的議論の復習を行い，得るところがあった.局所的には極小グラ フとして扱えると同時に，Weierstrass-Enneper表現との対応にも見るべきものがある.他方，円板上のNevanlinna理論の構築については，トランセンデンタルな議論があちこちに出現し，制御が困難である.古典論と現代幾何学の両方から攻める必要がある.
|
| Strategy for Future Research Activity |
等径超曲面の研究については，2023年7月までZoom検討会を定期的に行っていたが，2023年度は何度か対面検討会を行ってその効果を感じた.2024年度からは共同研究者が東京近辺に集まるのでさらに対面検討会を頻繁に行う. 内容は，Floer(コ)ホモロジー理論については入江氏のスペクトル系列の利用などのアイディア，等質なものの扱いについては大仁田氏のリー群論の知識を活かし行っていく.今までに得た知見を礎に，残る問題に継続して取り組み，2016年に共著で結果を出した北京の清華大学のHui Ma教授との国際共同研究を行う.
Ma教授はラグランジュ極小曲面についても深い研究を行っており，機会を見て議論したい.
ガウス写像の除外値問題については，小林氏のまとめている長大な5編の論文を形にしていくことを目指している.
新たな課題として，極小超曲面に関するChern予想に取り組み，４つの主曲率を持つコンパクトDupin超曲面についての研究を進めている．引き続き６つの主曲率の場合にも取り組んでいく．
|
