2022 Fiscal Year Research-status Report
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21K03215
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| Research Institution | Yamagata University |
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Principal Investigator |
奥間 智弘 山形大学, 理学部, 教授 (00300533)
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2021-04-01 – 2026-03-31
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| Keywords | 2次元正規特異点 / normal reduction number / 楕円型イデアル |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本年度は渡辺敬一氏（元日本大学教授）と吉田健一氏（日本大学教授）とともに正規還元種数に関連する課題を中心に研究を行った．
正規還元種数が2であるイデアルを楕円型イデアルという．幾何種数イデアル (正規還元種数が1) のコア (core) については特異点解消空間上のサイクルによる表示が我々の共同研究で示されているが，楕円型イデアルについてはほとんど結果が無かった．本年度は最小楕円型特異点のイデアルのコアの表示を得た．それにより，楕円型イデアルが幾何種数イデアルと類似するクラスとそうでないクラスからなることが明確になった．
次に，楕円型イデアルの正規正接錐 (normal tangent cone) が Gorenstein であることの特徴づけを得た．さらに，楕円型特異点の場合に正規正接錐が Gorenstein になるものを分類した．これは，特異点解消上のある種のイデアル層のうち，大域切断で生成されるものの分類に対応するものである．正接錐の性質は大変よく調べられているが，正規正接錐に関する研究はあまり無く，それを幾何学的側面から研究することは重要であると思われる．この研究は，現在も進展を続けており，一般のイデアルに対する結果も得られつつある．その中で，Brieskorn 超曲面特異点の極大イデアルの正規正接錐のGorenstein 性の特徴づけも得ることが出来た．
正規還元種数は，特異点解消空間上のイデアル層のコホモロジーを扱う際の基本的な不変量であるが，現状ではその値を求めることは困難であり，位相的不変量であるかどうかも不明である．しかし，本年度末に正規還元種数を算術種数を用いて上から評価する方法が得られた．次年度に関係する理論を整備する予定である．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
本年度はこれまでのオンラインによる研究打ち合わせに加え，対面による議論や研究集会への参加の機会もあり．昨年度よりは研究が進んだ．特に，正規正接錐の研究は問題の設定から具体例の発見，理論の構築など比較的大きな進展があった．正規還元種数に関しては位相不変量による評価など基本的な部分で進展があった．楕円型イデアルのコアの表現については，最小楕円型特異点に限った状況で解決したが，現在の方法では一般の場合には応用できない．今後の課題である．
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| Strategy for Future Research Activity |
イデアルのコアは特異点解消空間上の微分形式のなす層とも関連しており，特異点の構造の解析からも興味深い対象であるため，環論的手法と幾何学的手法を用いて研究を深めていきたい．正規還元種数の評価の研究を継続し，その過程でコホモロジーの次元を決定する手法を発展させ，他の不変量の解析にも応用したい．環論と幾何の双方の視点から研究を深化させるため，渡辺氏，吉田氏との共同研究を継続する．対面での議論を増やし，特異点に関連する分野の知見を得るために積極的に研究集会に参加したい．
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| Causes of Carryover |
前年度に対面による研究集会に参加できなかった影響が大きかった．次年度は研究集会に積極的に参加して成果の発表や情報収集を行い，対面による共同研究活動も活発に行っていきたい．それらのために旅費を使用する．研究や論文執筆作業で使用するパソコンや必要な文献を入手することにも研究費を使用したい．
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