2022 Fiscal Year Research-status Report
Solving problems about handle decompositions of manifolds and Dehn surgeries
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21K03216
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| Research Institution | University of Tsukuba |
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Principal Investigator |
丹下 基生 筑波大学, 数理物質系, 准教授 (70452422)
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| Project Period (FY) |
2021-04-01 – 2026-03-31
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| Keywords | pochette surgery / outer surgery / correction term / Scharlemann manifold |
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| Outline of Annual Research Achievements |
岩瀬-松本によって与えられたpochette手術と、中村によって一般化されたouter手術による4次元多様体の手術の位相不変量について詳しい解析を行なった。この研究は東京工業大学の鈴木龍正氏との共同研究である。これらの手術によって与えられる多様体のホモロジーを計算し、homotopy 4球面を与えるための必要条件を得た。またouter手術によって与えられる基本群についての考察も行なった。
Scharlemann多様体とpochette手術についての関係を調べた。任意のScharlemann多様体が自明なScharlemann多様体のpochette手術によって得られることを突き止めた。このことは、pochette手術はSchalemann多様体と関係が深いことを意味している。
Brieskorn球面のOzsvath-Szaboのcorrection termを計算した。この研究は東京工業大学の鈴木龍正氏との共同研究である。Karakurt-Canによるcorrection termの公式において最大を与えるパラメータの制限に成功した。また、Brieskorn球面Σ(p,q,pqk-1)の場合、実際に最大を与えるパラメータ求めた。これにより、このタイプのBrieskorn球面の値が既存の結果と一致していることを確かめた。この手法を一般化し、他のBrieskorn球面の場合に応用する方向性を模索した。
レンズ空間結び目のAlexander多項式の4項目がゼロではない場合の多項式の解析を非ゼロ曲線を用いて行なった。その結果、Alexander多項式の4項目がゼロではないレンズ空間手術を全て導き出す技術を高めた。
スライス結び目に関する研究を行った。穴あきリボン円盤を変形の手法を模索した。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
3: Progress in research has been slightly delayed.
Reason
4次元多様体に関する研究、ホモロジー球面の不変量に関する研究がある程度進んだ。特に、correction termを求める新しい手法を数値的に求めた。この手法は一般化の可能性がある。レンズ空間についての研究においては、非ゼロ曲線を描くための差分行列の制限についても有効なものを証明することができた。このことはレンズ空間手術の分類において発展の余地があると思える。しかし、レンズ空間手術一般を解析するにはまだ付加された条件を除くための議論を続けなければならない。そのような曲線がどのように一般化されるかについてはまだ考察対象としなかった。この部分が研究の遅れをとっていると判断した理由である。また、スライスリボン予想に関する研究はまだ本格的に始まっていない。今後この分野の研究も始める必要性がある。
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| Strategy for Future Research Activity |
今後、引き続きレンズ空間手術によって得られるレンズ空間の分類を行っていく。これまでの非ゼロ曲線の研究の蓄積があり、その手法を適用することで、L-spaceホモロジー球面から得られるレンズ空間を分類することにおいてまとまった結果を出せると考えている。
この研究課題は後半に入ることになるが、ここでスライス円盤からくる穴あきリボン図式の一般論を考える。基本的な変形方法とその適用方法、また図式の不変量を導入する。この研究は、3年前に思いついたものであるが、まとまった時間が取れなかったことが理由で進んでいなかった。本年度についてはこの研究の手がかりを掴むことができるよう努力する。
ホモトピー4球面の研究を行う。前年度行っていたpochette手術によるScharlemann多様体の構成において2-knotの埋め込みとコードの位置などを解析することで実現させる。outer surgeryによって得られる基本群がどのような群を与えるのかについての研究も進める。また、2-knotがリボンではない場合にどのように研究を進めるのか、またリボンの場合に帰着できないかについて検討する。
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| Causes of Carryover |
本年度の研究において、次年度使用額が生じている理由は、企画していた研究集会「微分トポロジー'23」に何人かの研究者に旅費を出資する予定であったが、ハイブリッドで開催していたこともあり、思ったほど研究者を集めることができなかったからである。それによって、予定していた旅費を大幅に使用しなかったことが挙げられる。今年度は、「微分トポロジー'24」での招聘研究者のための交通費、および謝金に使用する予定である。また共同研究の打ち合わせにおいて使用する。また、関係のある海外の研究集会があれば、積極的に参加し、研究を発表し、議論をする予定である。
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