Geometry of handlebody-knots

2021 Fiscal Year Research-status Report

• Project/Area Number: 21K03217
• Research Institution: University of Tsukuba
• Principal Investigator: 石井 敦 筑波大学, 数理物質系, 准教授 (00531451)
• Project Period (FY): 2021-04-01 – 2026-03-31
• Keywords: 結び目理論

Outline of Annual Research Achievements

本年度に実施した研究の成果は、２面体カンドルに対して線形拡大の族を構成し、これを用いた不変量の計算によって、列関係式を用いたカンドルねじれアレキサンダー不変量がすべての次数の古典的なアレキサンダー不変量よりも強力であることを示したことです。２面体カンドルは結び目のカンドルを用いた研究においてよく使われるカンドルの族であり、３次２面体カンドルからは結び目の初等的な不変量である３彩色数を構成することができます。カンドルの線形拡大はアレキサンダーペアに対応し、これを用いることでカンドルのＦｏｘ微分を定義することができます。カンドルのＦｏｘ微分を用いることでカンドルねじれアレキサンダー行列が得られ、カンドルねじれアレキサンダー行列の同値類が結び目の不変量になるので、２面体カンドルに対して線形拡大の族を構成することは最初に取り組むべき課題です。しかし、２面体カンドル（というカンドルの族）に対して、拡大をＲｎ×Ｒの形に限定して線形拡大の族を構成する試みは成功していませんでした。小さい次数に対する結果を精査し、次数ｎごとに異なる環Ｒを指定することで２面体カンドルに対して線形拡大の族を構成しました。環Ｒの指定方法は帰納法を用いた複雑なものですが、このようにして得られた線形拡大の族に付随するアレキサンダーペアの族に対して、列関係写像の族を構成することにも成功し、結果として、列関係式を用いたカンドルねじれアレキサンダー不変量がすべての次数の古典的なアレキサンダー不変量よりも強力であることを示すことができました。

Current Status of Research Progress

2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.

Reason

研究実績の概要で述べたように研究成果が出ている。本研究に関連する研究会議も滞りなく開催されている。

Strategy for Future Research Activity

研究を効率よく進めるために関連する研究会議やセミナーなどに参加し、情報収集を行います。また研究会議やセミナーなどでの発表を通して、研究成果に対するフィードバックを得ることで、研究成果のさらなる洗練を進めます。適切な研究会議やセミナーへの参加に加えて、研究会議「ハンドル体結び目とその周辺１５」を開催します。研究会議の開催によって人的交流を促進し、研究者同士の活発な議論を引き起こすことで、深みのある研究を加速させます。

Causes of Carryover

理由：出張日程の延期のため
使用計画：旅費またはオンライン会議の費用として使用する予定である。