2022 Fiscal Year Research-status Report
Contact Riemannian manifolds and the hermitian Tanno connection
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21K03219
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| Research Institution | Saitama University |
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Principal Investigator |
長瀬 正義 埼玉大学, 理工学研究科, 名誉教授 (30175509)
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| Project Period (FY) |
2021-04-01 – 2025-03-31
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| Keywords | パラメトリックス / ラプラシアン / 接触リーマン多様体 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
当研究代表者は，今年度，可積分性を課さない接触リーマン多様体上のラプラシアン □ のパラメトリックス Q（Q□―I，□Q－Iは滑らかな核を持つ作用素である）を具体的に構成することを目的とし，特に □ の主要部分 p(□) の逆作用素 q(□) の明示を考察の中心とした。□ は楕円型作用素ではなく通常の理論に従ってその作用素について考察することは難しく，そうした特異だが重要な作用素に関する研究の一つの足掛かりとしてそれのパラメトリックスについて考察した。
多様体が可積分である場合には Beals-Greiner によるパラメトリックスの研究があり，当研究は彼らのそれに倣ったものであるが，我々には非可積分ケースを扱うのに有用な幾つかの道具があり，それらの適用により一般的な設定にまで彼らの結果を拡張し，かつ，逆作用素 q(□) を彼らより明確に書き下すことに成功した。また，計算量増大を気に掛けなければ，展開式として与えられるパラメトリックスの任意高次項まで明示することも可能な状態にある。
当代表者の導入したその有用な道具を紹介しておく。可積分ケースの研究では Tanaka-Webster接続と呼ばれる接続が非常に有用であることがよく知られており，そのケースではその接続を使った膨大な研究成果が既にある。非可積分ケースでは丹野修吉氏の導入した接続（Tanno接続）を使った研究が知られているが，当代表者はそれの変形（エルミートTanno接続）を導入した。この接続は様々有用な面があり，当研究ではこれを用いた非可積分ケースの研究を進めており，パラメトリックスについての当研究もその一つである。
当研究結果は，論文 Parametrix and the Kohn-Rossi Laplacian on contact Riemannian manifolds (査読前論文) としてまとめた。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
今年度は，一般接触リーマン多様体上の Getzler symbolやラプラシアンのパラメトリックスについて考察し，以下の論文にまとめた。
・M. Nagase: Getzler's symbol calculus and the composition of differential operators on contact Riemannain manifolds (Osaka Math. J. に掲載予定)
・M. Nagase: Parametrix and the Kohn-Rossi Laplacian on contact Riemannian manifolds (査読前論文)
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| Strategy for Future Research Activity |
現在，次の二つの課題への取り組みを考えている。
（１）可積分接触リーマン多様体上で，Chern-Moser はある種の Cartan 接続（今日ではそれは Chern-Moser 接続と呼ばれている）を構成して見せた。当代表者はその構成を非可積分ケースまで拡張したいと考えている。この研究の一部は下記の研究発表論文として発表済みである。
（２）接触リーマン多様体上には自然に横断的複素スピン族が取れる。この族に付随する横断的なディラック作用素族について考察を進めたい。
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| Causes of Carryover |
コロナ禍の影響で幾つかの参加予定研究集会等が中止やZoom開催となり，旅費や参加費用が一部不使用となり，その分が次年度へ繰り越しとなった。次年度の旅費や参加費用に使用するか，物品費として使用する。いずれにしろ無駄のない使い方をしたい。
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