2021 Fiscal Year Research-status Report
Study on the double variational principle for mean dimension of dynamical systems
| Project/Area Number |
21K03227
|
|---|
| Research Institution | Kyushu University |
|---|
Principal Investigator |
塚本 真輝 九州大学, 数理学研究院, 教授 (70527879)
|
|---|
| Project Period (FY) |
2021-04-01 – 2025-03-31
|
| Keywords | 力学系 / エルゴード理論 / 幾何学的測度論 / 平均次元 / エントロピー |
|---|
| Outline of Annual Research Achievements |
本研究計画の目的は平均次元と呼ばれる力学系の不変量と，レート歪み関数という情報圧縮の理論的限界値を表す量との関連を示す「二重変分原理」を発展させることである．その重要なステップの一つとして，幾何学的測度論と力学系理論の融合を推進するという問題がある．2021年度はこのステップにおいて重要な研究を行った．ある種の「無限次元フラクタル」の「平均ハウスドルフ次元」の研究を行っていたのだが，それの思わぬ副産物として，「重み付き位相的エントロピー」の理論に対して，新しいアプローチを発見することができた．重み付き位相的エントロピーは，FengとHuangという数学者たちが，自己アファイン集合というフラクタル図形の研究に触発されて導入した概念である．私は彼らの定義とは大きく異なる新しい定義を導入し，それに対する「変分原理」を証明した．この変分原理の帰結として，私の新しい定義がFeng--Huangたちの定義と同値であることが従う．彼らのオリジナルの定義と，私の新しい定義が一致することは高度に非自明な主張である．実際，これら二つの定義が一致することの帰結として，Bedford--McMullenカーペットと呼ばれるフラクタル図形のハウスドルフ次元に対する有名な公式の「位相的一般化」を成し遂げることができた．重み付きエントロピーに関する以上の成果は，すでに論文としてまとめて，学術誌に発表することに成功している．本来の動機であった「無限次元フラクタル」の方の研究も，主要な部分は完成したと考えており，近い将来論文としてまとめて発表する予定である．
|
| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
二重変分原理を理解するうえで重要なステップである「平均ハウスドルフ次元」の研究が大きく進み．予想外の副産物まで得られたから．
|
| Strategy for Future Research Activity |
無限次元フラクタルの平均ハウスドルフ次元に関する論文をまずまとめる必要がある．その後，二重変分原理の理論を多重作用の場合に拡張し，目標であるブロディ曲線の力学系に適用する準備を完成させたい．
|
| Causes of Carryover |
新型コロナウイルスのパンデミックのため，国内出張がゼロになったため，国内出張に使う予定であった経費を全く使用しなかったから．
|
