2021 Fiscal Year Research-status Report

Complex quartic differentials on surfaces

Research Project

Project/Area Number	21K03228
Research Institution	Kumamoto University
Principal Investigator	安藤直也熊本大学, 大学院先端科学研究部(理), 准教授 (50359965)
Project Period (FY)	2021-04-01 – 2026-03-31
Keywords	4次元ニュートラル多様体 / 光的ツイスター空間 / 概べき零構造 / 光的2次元分布 / 光的曲面 / 共形Gauss写像 / 共変微分 / Walker多様体
Outline of Annual Research Achievements	(1) 向きづけられた4次元ニュートラル多様体に付随する空間的および時間的ツイスター空間は2重外積束の直和分解に現れる階数3のベクトル束に含まれる. これらの光的なベクトルからなる光的ツイスター空間の切断に対応するものとして概べき零構造を考えることができる. 概べき零構造が平行であることと対応する光的ツイスター空間の切断が水平であることは同値である. 4次元ニュートラル超Kaehler多様体は平行な概べき零構造を持つ. 概べき零構造Nが定める光的2次元分布Dが包合的であることと, 対応する切断の各点でのDに沿う共変微分がその切断と1次従属であることは同値である. Nが平行であるとき, Dの積分曲面は複素曲線やパラ複素曲線の類似物と考えられる. このことに注意して, 平均曲率ベクトルが零でありかつ等方的な空間的または時間的曲面の類似物であるような光的曲面の特徴づけが得られる. (2) E^3_1内の時間的極小曲面で曲率が非零のものの共形Gauss写像は, 平均曲率ベクトルが零でありかつ等方的であるがその時間的ツイスター・リフトの共変微分は光的または零でありかつどの点でも恒等的に零にならない. 向きづけられた4次元ニュートラル多様体Mの時間的ツイスター空間の切断Ωで共変微分が同様の性質を持つものに対し, 共変微分は零にならない1形式と光的ツイスター空間の局所切断のテンソル積で局所的に表され, さらにΩは光的な2次元分布Dを与えそしてM, Mの計量hおよびDの組(M, h, D)はWalker多様体であることを示した. MがE^4_2の場合に二つの時間的ツイスター空間の切断の組でそれらの共変微分が上述の性質を持つものはE^4_2上の4つの関数f^+, f^-, g^+, g^-でdg^+≠0, dg^-≠0を満たすものによってちょうど与えられることを示した.
Current Status of Research Progress	Current Status of Research Progress 2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned. Reason 今までの研究成果を踏まえて今年度は研究実績の概要に記したような研究を行うことができまた今後の展望を得ることもできたことを踏まえると, 区分は「おおむね順調」または「当初の計画以上」として良いと考えている. 研究実績の概要の(2)については一般の次元で行える議論, 得られる結果があると現時点では考えているため, 「当初の計画以上」進展したとは考えないことにする.
Strategy for Future Research Activity	現在までの進捗状況にも記したように, 研究実績の概要の(2)については一般の次元で行える議論, 得られる結果があると考えているので, それらについてまず調べたい. また, 研究実績の概要の(2)については空間がニュートラルではなくLorentzの場合に類似の問題設定ができるので調べたいが, 状況はより複雑なようである.
Causes of Carryover	新型コロナウイルスの影響により本来できただろう研究活動 (特に海外出張)ができなかった. 当該年度分を無理に使うのではなく, 翌年度に持ち越して状況の改善を確認の上翌年度分と合わせて使用するのが良いと考えた.