2022 Fiscal Year Research-status Report
絡み目に関わる代数系の整理と絡み目不変量の再定式化
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21K03233
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| Research Institution | Sophia University |
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Principal Investigator |
大城 佳奈子 上智大学, 理工学部, 准教授 (90609091)
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| Project Period (FY) |
2021-04-01 – 2025-03-31
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| Keywords | Dehn彩色 / minimum number / palette graph / 捩れアレキサンダー不変量 / カンドル |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本研究の目的は, 第一に, カンドルやその一般化, 亜種である代数系達において, 絡み目に対する有効性の強弱や, 代数系間の類似性などを明確にすることである. 第二に, 既存絡み目不変量の代数系を用いた再定式化を行い, より強力で扱いやすい不変量の構成を行うことである. そのため様々なカンドルに関係する代数系における不変量の研究が必要不可欠となる. 2022年度は主に以下の研究を行った.
(１)Dehn彩色におけるminimum numbers of colors の研究を行った. Dehn彩色はカンドル彩色の一種であるFox彩色の領域版である. Minimum numbers of colors についてFox彩色の場合とDehn彩色の場合において, 累次の性質を持つのか？もし累次の性質を持つ場合, それらはどのように対応するのか？という問題が考えられるが, 本研究でこれら問題に対する部分的な答えを与えることが出来た. Fox p-彩色の場合, minimum numbers of colors は今のところ結び目/絡み目不変量としては機能してない. 一方Dehn彩色の場合, 結び目不変量として機能していることが分かった. この研究は松土恵理氏, 山岸凱司氏の協力の下で行った. また成果を研究集会で発表した.
(２)捩れアレキサンダー不変量のカンドル版の正規化について, 2021年度に引き続いて研究を行い, 成果を整理し論文として纏めた. 正規化を行うことで, これまで捩れアレキサンダー不変量では区別できない結び目/絡み目を区別出来る. 例えば結び目とその鏡像との区別等が可能になり, 論文中でそのような例を与えることが出来た. この研究は石井敦氏の協力の下で行った. また成果を研究集会で発表した.
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
3: Progress in research has been slightly delayed.
Reason
本研究では, 絡み目に関わる様々な代数系において, 「それらから得られる絡み目不変量間の類似性, 相違性は何か」, 「不変量としての強さにどのような関係があるか」ということについて考える必要がある.
Dehn彩色とFox彩色のminimum numbers of colorsの類似性, 相違性については, 2022年度の研究において一つの答えを与えることが出来たが, カンドルに関する代数系やそれらを用いた結び目/絡み目不変量は数多くあり, それらの類似性, 相違性についても, まだまだ研究を進める必要がある.
特に, 当初取り組む予定であった, 「(i )Knot-theoretic ternary quasi-groups (KTTQG)をシャドウバイカンドル理論で完全に解釈することは可能か. 可能である場合, 与えられたKTTQGはどのようなシャドウバイカンドルに対応しているのか. 不可能である場合, KTTQG 理論とシャドウバイカンドル理論の間にある差はどのようなものか. 」「(ii)有向絡み目に対し, カンドルから得られる不変量と対称カンドルから得られる不変量の間には強弱の差があるか. 」という問題についてはまだ手付かずの状態にあり, 今後真面目に取り組む必要があると考えている.
2022年度は体調不良に見舞われることが多くあり, 思うように研究を進めることが出来なかった. そのために研究打合せや研究発表, 情報収集の機会を失うこともあった. また2023年2月から科研費での研究を中断しており, 2022年度全体を通しての研究活動は行っていない.
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| Strategy for Future Research Activity |
まだ手付かずの状態である以下の問題をはじめ, 本研究の第一目標である「代数系の整理」を進めていく予定である.
(i) 「Knot-theoretic ternary quasi-groups(以後, KTTQG と略す)をシャドウバイカンドル理論で完全に解釈することは可能か. 可能である場合, 与えられたKTTQGはどのようなシャドウバイカンドルに対応しているのか. 不可能である場合, KTTQG 理論とシャドウバイカンドル理論の間にある差はどのようなものか.」, (ii) 「有向絡み目に対し, カンドルから得られる不変量と対称カンドルから得られる不変量の間には強弱の差があるか.」
また, カンドル代数を用いた既存絡み目不変量の再定式化は非常に重要であり, より強力かつ扱いやすい絡み目不変量発見に繋がると期待している. そこで次の問題について考え, 「不変量の再定式化, 一般化および応用」を進めていく予定である.
(i) 「絡み目に関わる様々な代数系を用いた既存絡み目不変量の再定式化や計算の単純化を与えることは可能か」, (ii) 「曲面絡み目, 仮想絡み目, 空間グラフやハンドル体絡み目に関わる様々な代数系を用いた既存絡み目不変量の再定式化や計算の単純化を与えることは可能か」.
また, 本研究遂行のために, 国内外の研究集会や国際会議に参加し, 研究における情報発信, 情報収集, 意見交換を積極的に行う. さらに, 国際雑誌に研究成果を学術論文として纏め発表する.
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| Causes of Carryover |
次年度使用額が生じたり理由：2022年度6月より体調が思わしくなく, 予定していた研究打合せや研究集会への対面参加を全て取りやめ, オンライン参加に切り替えた。そのため旅費用の予算を殆ど使用することが出来なかった。
使用計画：2023年度は研究を中断する予定であるが, 2024年度以降に研究集会や国際会議参加のための出張費用として使用する。また, 研究のためにmathematicaを多く使用する必要があるため, 計算用のコンピューターの購入にも使用する。
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