2023 Fiscal Year Research-status Report
擬アノソフ周期軌道の複雑度に基づく組みひも群と写像類群の研究
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21K03247
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| Research Institution | Osaka University |
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Principal Investigator |
金 英子 大阪大学, 全学教育推進機構, 教授 (80378554)
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| Project Period (FY) |
2021-04-01 – 2026-03-31
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| Keywords | 組ひも群 / 写像類群 / 擬アノソフ / 3次元多様体 / 写像トーラス / エントロピー / 平面N体問題 / 周期解 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
曲面の上の向きを保存する同相写像のイソトピー類がなす群を写像類群という. Nielsen-Thurston 理論により写像類は, 周期的 (periodic), 可約 (reducible), 擬アノソフ (pseudo-Anosov) の3つに類される. 力学系や3次元多様体論の研究では 擬アノソフ写像(類)の理解が鍵となる. 例えば, 擬アノソフの写像類の位相的エントロピーは, 代表元の擬アノソフ写像の拡大率(dilatation) の対数を取ったものと一致する.
擬アノソフ写像は測度付き安定ラミネーション (stable measured lamination) を許容する. Agol cycle とは, 擬アノソフ写像の測度付き安定ラミネーションから定まるものであり, 具体的には測度付きトレイントラックの周期列のことである.
Agol cycle が計算できれば, その擬アノソフ写像の写像トーラスの理想四面体分割 (veering triangulation) が一つ与えらる.
また擬アノソフ写像類の共役問題には, Agol cycle が重要な役割を担う.
令和5年度は, 単純な曲面である 一つ穴あきトーラスや3点穴あき円板の擬アノソフ写像の Agol cycle を計算した. さらに3点穴あき円板の擬アノソフ写像について, そのAgol cycle の長さと Garside 標準形の長さとの関係を明らかにした(川室 圭子氏 (アイオワ大学)との共同研究).
3点穴あき円板の擬アノソフ写像の Agol cycleの計算は, 3点の場合と異なり格段に難しくなる. 令和5年度は 4点穴あき円板や2点穴あきトーラスのの擬アノソフ写像の無限族について Agol cycle の研究を遂行した.
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
研究実績で述べたように, 擬アノソフ型の3本の組ひものAgol cycleは完全に決定した. 令和5年度に実施した本研究によって, Agol cycle の長さと擬アノソフの他の不変量の間の関係についての問題意識がさらに高まった.
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| Strategy for Future Research Activity |
(1) 一般の擬アノソフ型のn本組ひものAgol cycleを計算する. まずは 一般の4-組ひものAgol cycleの性質について研究を推進する.
(2) m, n を互いに素な整数とし, 時刻 t でパラメータ付けされたxy 平面のリサジュー閉曲線 x= sin(mt), y= sin(nt) の族を考える. 報告者は 中村博昭氏と小川裕之氏との過去の共同研究において, 平面のリサジュー閉曲線上の等間隔の３点がリサジュー閉曲線上の周期運動によって時間方向に形成する 3-組ひもを分類した (Lissajous 3-braids, 2023). この論文では位相差が0のリサジュー曲線を扱ったが, 今後は一般の位相差の場合についての分類を行う(中村博昭氏と小川裕之氏との共同研究).
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| Causes of Carryover |
健康面の事情で, 報告者のコロナ感染のリスクを抑える必要があった. 海外でコロナに感染することを避けたかったため, 海外出張よりも国内出張を積極的に行ったことが次年度使用が生じた主な理由である. コロナの状況は良くなっているので, 令和6年度は より頻繁に 国内・海外出張を行い, 共同研究者と意見交換を活発に行う.
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