2022 Fiscal Year Research-status Report
Complex geometric structures and their moduli on Lie groups and homogeneous spaces
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21K03248
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| Research Institution | Osaka University |
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Principal Investigator |
長谷川 敬三 大阪大学, 大学院理学研究科, 招へい教授 (00208480)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
後藤 竜司 大阪大学, 大学院理学研究科, 教授 (30252571)
入江 博 茨城大学, 理工学研究科(理学野), 准教授 (30385489)
長谷川 和志 金沢大学, 学校教育系, 教授 (50349825)
糟谷 久矢 大阪大学, 大学院理学研究科, 准教授 (80712611)
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| Project Period (FY) |
2021-04-01 – 2024-03-31
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| Keywords | ユニモジュ ラー・リー環 / Vaisman構造 / 佐々木構造 / CR構造 / 局所共形ケーラー構造 / Hopf多様体 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
Vicente Cortes との共著「Unimodular Sasaki and Vaisman Lie groups」Math.Z. 303, 84 (2023)において，単連結ユニモ ジュラーVaismanおよび佐々木リー群の完全な分類が得られた。すなわち，対応するリー環の言葉で述べると，改変 (Modification) を除いて「ユニモジュ ラーVaismanリー環はR x sl(2), R x su(2), R x hのいずれか」に分類され，「ユニモジュラー佐々木リー環はsl(2), su(2), hのいずれか」 に分類される。こ こでhはハイゼンベルグ・リー環である。さらに，これらのリー環上の不変な複素構造を決定した。佐々木構造は強擬凸CR構造で正規条件(normality)を満たすものとして捉えることができる。現在，糟谷久矢 (研究分担者)との共同研究として「カルタン接続に関して局所平坦な単連結非退化CRリー群の決定」の問題に取り組んでいる。最近の結果として，冪零非退化CRリー群はハイゼンベルグ・リー群であり，さらにハイゼンベルグ・リー群上の不な非退化CR構造を具体的に決定した。
上記の論文にて，R x su(2)の不変な複素構造はC^2-{0}であることを示したが，対応するリー群としてのS^1 x SU(2)上にはこの複素構造に関してHopf曲面を定義する。一般にC^n-{0}を普遍被覆にするコンパクト複素多様体をHopf多様体と言うが，普遍被覆変換群が対角化可能な線形変換で生成されているときを対角Hopf多様体と言う。対角Hopf多様体上にはVaisman構造が入り，したがってまたLCKポテンシャルを持つ。この性質が十分に小さな変形で保たれることの応用として「任意の一般のHopf多様体は局所共形ケーラー構造をもつ」の簡潔かつ明快な証明を与えた。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
研究実績の概要に述べた様に，佐々木構造は強擬凸CR構造でいわゆる正規条件(normality)を満たすものとして捉えることができるが，例えば，SU(2)上には佐々木構造ではない不変な強擬凸CR構造が入り，複素アフィン空間に埋め込めないCR構造としてよく知られています。最近の結果として，冪零非退化CRリー群はハイゼンベルグ・リー群であり，さらに上記のRxh上の複素構造に関する結果を用いて，ハイゼンベルグ・リー群上の不変な非退化CR構造を具体的に決定することができた。これらのCR構造は複素アフィン空間内の超2次曲面としてのCR構造を定義し，具体的な埋め込み写像も得 られます。単連結CRリー群の分類問題に関しては，3次元の場合はカルタンによってすでに決定されていて，一般次元に 関してはチャーン・モーザーによってカルタンの結果を拡張する形で基本的な結果が得られている。これらの結果を踏まえて，より具体的に単連結ユニモジュ ラーCRリー環の分類問題に取り組んでいる。
研究実績の概要に述べた様に，一般Hopf多様体上の局所共形ケーラー構造に関して，対角Hopf多様体にはVaisman構造が入り，したがってまたいわゆる局所共形ケーラー ポテンシャルを持つ。このことから任意の一般Hopf多様体は局所共形ケーラー構造を持つことが導かれるが，対角Hopf多様体以外はVaisman構造を持たないと予想している。Hopf曲面に関してはこのことは具体的に示されているが，一般次元の場合は未解決である。複素変形理論との関わりでこの問題解決を探りたい。
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| Strategy for Future Research Activity |
現在までの進捗状況に述べた様に，今後の取り組むべき課題として，1. カルタン接続に関して局所平坦な単連結非退化CRリー群の決定，2. 単連結ユニモジュラー非退化CRリー群の分類問題，3. 冪零 Lie 群上の不変な複素構造は複素アファイン空間に双正則同型であり，またそれらの複素構造の変形はまた不変である，との予想の解決，4. 一般Hopf多様体がVaisman構造をもつのは対角Hopf多様体に限る，との予想の解決，を挙げたい。
研究活動の一環として，第7回国際研究集会「Complex Geometry and Lie Groups」を2023年5月22日-26日の日程でイタリアのレッチェにて開催予定。参加登録者数は70名あまりになっている。
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| Causes of Carryover |
国際研究集会「複素幾何学とLie群」2023年5月22日-26日，イタリア，レッチェ，の開催費用に当てるため。
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