2023 Fiscal Year Research-status Report
Classification of ribbon 2-knots and their cross sectional ribbon 1-knots
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21K03251
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| Research Institution | Osaka Metropolitan University |
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Principal Investigator |
金信 泰造 大阪公立大学, 大学院理学研究科, 特任教授 (00152819)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
角 俊雄 九州大学, 基幹教育院, 教授 (50258513)
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| Project Period (FY) |
2021-04-01 – 2025-03-31
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| Keywords | ２次元リボン結び目 / 結び目群 / 全射準同型 / ねじれAlexander多項式 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
当研究の目的として以下の５項目のうちで，(3) 2次元リボン結び目群の間の全射準同型の研究．(5) 2次元リボン結び目の切り口となる1次元リボン結び目の多項式不変量による分類の研究．について成果を得た．
（注意．これまでは， (3) 2次元リボン結び目の半順序の研究．としてきた．古典的結び目では，結び目群の間の全射準同型の存在により半順序を定義できるが，2次元結び目では同様に半順序が定義できるかどうか未解決なので，今後はこのように改める．）
(3) フュージョン数が1でリボン交点数が4以下の2次元リボン結び目121個の結び目群の間の全射準同型の存在を調べた．全部で14,520の結び目群の組を調べた．その結果，27組について全射準同型が存在し，5組が不明，残りは存在しないことがわかった．方法は以下の通り．まず，Alexander多項式を比較することにより14,159組について全射準同型が存在しないことがわかる．次に，各組の結び目群からのSL(2,5)表現を求めて，その固有値，ねじれAlexander多項式を比較することで291組について全射準同型が存在しないことがわかる．同様のことを，SL(2,7), SL(2,8), SL(2,9), SL(2,11), SL(2,23), SL(3,3), SL(3,5)表現でおこなうと，34組が残る．そのうちの2組については交換子部分群の考察（ファイバー性を調べる）から全射準同型が存在しないことがわかる．残りの32組のうちの27組について全射準同型の構成に成功したが，5組については不明である．
(5)の研究から派生した成果として，２つの２本橋結び目のJones多項式の積の形のJones多項式をもつ２本橋結び目の無限族を発見した．HOMFLYPT多項式についても同様の例を発見した．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
当研究の目的として以下の５項目を掲げた．(1) 小さい2次元リボン結び目の数え上げとその分類．(2) フュージョン数が1の2次元リボン結び目の分類．(3) 2次元リボン結び目群の間の全射準同型の研究．(4) 2次元リボン結び目のファイバー性の研究．(5) 2次元リボン結び目の切り口となる1次元リボン結び目の多項式不変量による分類の研究．
今年度は主に，(3)について成果を上げることができたと考える．また，(1)，(3)についても若干の知見が得られた．(5)についても，この研究から派生したJones多項式の研究が進展した．
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| Strategy for Future Research Activity |
当初の研究目的に掲げた5項目に沿って研究を進めたい．当研究の目的として以下の５項目を掲げた．(1) 小さい2次元リボン結び目の数え上げとその分類．(2) フュージョン数が1の2次元リボン結び目の分類．(3) 2次元リボン結び目群の間の全射準同型の研究．(4) 2次元リボン結び目のファイバー性の研究．(5) 2次元リボン結び目の切り口となる1次元リボン結び目の多項式不変量による分類の研究．
(1)については，フュージョン数1，長さ6以下については数え上げと分類が完了し，高橋功多との共著論文を出版したが，フュージョン数1，長さ7の数え上げと分類は2021年度に完了しており，これを整理してまとめる作業が残っている．(3)は今年度に一定の成果を得た．(5)については，引き続きLammが与えた対称和で表された1次元リボン結び目の表について，多項式不変量による分類の研究を継続したいと考えている.さらに，Jones多項式，HOMFLYPT多項式，Q多項式を共有する様々な結び目の組みで興味を引くものを発見した．特に，積の形のJones多項式をもつ２本橋結び目の無限族を発見した．また，一般の結び目についても積の形のJones多項式，HOMFLYPT多項式をもつものが多数存在することがわかってきた．これまでの研究では，素な結び目同士でその不変量を比較するのが一般的であったが，合成結び目との比較も考慮に入れて多項式不変量の分類の研究を進めたい．
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| Causes of Carryover |
一昨年は，新型コロナウイルス感染症の影響のため研究集会や学会への出張が少なかった．その影響で研究が遅れている．今年度はそれらに可能な限り出席する予定である．
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