2022 Fiscal Year Research-status Report
双曲絡み目のパラボリック表現とねじれアレキサンダー多項式に関する研究
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21K03253
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| Research Institution | Keio University |
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Principal Investigator |
森藤 孝之 慶應義塾大学, 経済学部(日吉), 教授 (90334466)
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| Project Period (FY) |
2021-04-01 – 2025-03-31
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| Keywords | 双曲絡み目 / パラボリック表現 / ねじれアレキサンダー多項式 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本研究の目的は、双曲絡み目のパラボリック表現に付随したねじれアレキサンダー多項式の基本的性質を明らかにし、そこから得られる代数的性質を用いて、絡み目の幾何学的性質を特徴付ける枠組みを与えることである。より具体的には、以下の2点を明らかにすることが目標となる：
（A）双曲絡み目のパラボリック表現に付随したねじれアレキサンダー多項式の明示公式、
（B）得られた多項式の性質と、双曲絡み目のファイバー性やサーストンノルムとの関係。
この研究目標に対して、今年度は以下の成果を得た：（１）Friedl-Vidussiのファイバー性に関する消滅定理について、これまで具体的な例は知られていなかったが、3次元球面内の非ファイバー結び目とその線形表現で消滅定理を満たすものを組織的に構成した（明治大学の鈴木正明教授との共同研究）。（２）円周上の1点穴あきトーラス束のSL(3,C)-既約表現の1-パラメータ族（Mangum-Shanahan曲線）について考察し、三葉結び目補空間のMangum-Shanahan曲線の種数を具体的に計算した。これと、昨年度得られた8の字結び目補空間のMangum-Shanahan曲線の種数に関する結果を組み合わせることで、これらの曲線が位相的に異なることを示した。（３）双曲的ファイバー結び目の双曲体積の明示公式として、（組み合わせ数学に現れる）ベル多項式を用いた表示を導いた（東京農工大学の合田洋教授との共同研究）。
一方、本研究計画の遂行にあたり、専門的知識を得るための貴重な機会と捉えていた「トポロジーセミナー」を、COVID-19の長期的な影響により、今年度も開催することができなかった。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
「研究実績の概要」欄で述べた通り、セミナーが開催できない等の遅れが研究計画の一部で生じているものの、共同研究も含めて、全体としてはおおむね順調に進展しているため。
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| Strategy for Future Research Activity |
本研究計画3年目となる令和5年度は、昨年度得られた研究成果をもとにして、「研究実績の概要」欄で述べた研究目標のうち、（A）と（B）の橋渡しに関わる部分について重点的に考察を行う。また、COVID-19の影響が落ち着きを見せ始めているので、社会情勢を見極めながら、可能な範囲で国内外の研究者との研究交流を進め、本研究課題へのフィードバックを与えることを目標とする。
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| Causes of Carryover |
COVID-19の影響により、開催を予定していたトポロジーセミナーの中止を余儀なくされた。また、参加を予定していた研究集会のいくつかがオンライン開催となり、謝金、旅費等の支出が当初計画よりも少なくなったため次年度使用額が生じた。
次年度は、トポロジーセミナーを定期的に開催して専門的知識の提供を受けるとともに、社会情勢を勘案しながら、可能な限り国内外の研究集会に参加して最新の研究動向を調査し、本研究計画を推進させる。
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