| Outline of Annual Research Achievements |
3次元空間の中の閉じた紐を上から光を当てると平面の上に影が出来る。その影だけを見ながら紐の絡まりを研究するのが結び目理論である。この研究は,次元を上げて,4次元空間の中の曲面(曲面絡み目)を3次元空間に写し,影を見ながら研究を行なう。この影は,交わりのある曲面で,2枚や3枚の曲面が交わっている。交わった部分だけを見ると,曲線が現れる。鎌田氏より,曲面絡み目をいい形に変形した後、その曲線を更に平面に射影して,平面上で曲面絡み目を描くことが可能になった(chartという)。この研究は, chart の分類表を作成することを目的とする。手法は,コンピュータで効率よく不変量を計算し,候補を見つけ,理論的に証明する。
4-chart で丁度 crossing が2個のものは、具体的な chart の形を以前求めていた。その中でも black vertex が8個である 4-chart は無限個あり(同じ曲面絡み目を表すかもしれないが)、T_0, T_1, T_2, …, T_k, … と T_1^*, T_2^*, …, T_k^*, … がある。T_k^* は T_k のラベル 1,2,3 を 3,2,1 に変更して得られる chart である。その半分の chart T_0, T_1, T_3, …, T_{2k-1}, … が表す曲面絡み目の成分数は2であるが、これらの曲面絡み目のある quandle coloring 数が異なることを今年度に証明した。この予想はコンピュータで、計算をしたことによりたてられた。使用したquandle は元の個数が n であり、その元たちを 1,2,3,..., n と表すと、i*j=i (j が n でない)というほぼ単純な演算をもつ quandle である。まだリボン型でないことが示されていないので、次年度はそれを示したいと思う。
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