2021 Fiscal Year Research-status Report
A study of invariants and local moves for virtual knots
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21K03257
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| Research Institution | Tokyo Woman's Christian University |
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Principal Investigator |
大山 淑之 東京女子大学, 現代教養学部, 教授 (80223981)
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| Project Period (FY) |
2021-04-01 – 2025-03-31
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| Keywords | 仮想結び目 / 局所変形 / forbidden move |
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| Outline of Annual Research Achievements |
２つの（仮想）結び目が局所変形で移りあうとき、移りあうために必要な局所変形の最小回数は距離の公理を満たし、（仮想）結び目の集合に距離空間の構造を入れることができる。局所変形による（仮想）結び目の距離空間の特徴を調べることが、本研究の目的の一つである。測地線グラフとは、頂点が（仮想）結び目であり、（仮想）結び目の局所変形での距離とその（仮想）結び目があらわす頂点のグラフ上での距離が一致するグラフである。測地線グラフにより、局所変形による（仮想）結び目の距離空間がどの程度の大きさをもつか、判断することができる。局所変形として交差交換を考えた。交差交換による仮想結び目の距離空間において、任意に次元の高い格子グラフが測地線グラフであることはすでに証明していた。
令和３年度の第１の成果は、局所変形としてforbidden moveを考え、forbidden moveによる仮想結び目の距離空間において、交差交換による距離空間と同様に、任意に高い次元の格子グラフが測地線グラフになることが証明できたことである。第２の成果として、仮想結び目の代表的な不変量が自明な結び目と同じ値となり、交差交換１回で自明な結び目に変形できる非自明な仮想結び目が無限個存在することもわかってきた。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
仮想結び目の局所変形による距離空間の研究として、交差交換による仮想結び目の距離空間においては、任意に次元の高い格子グラフが測地線グラフであるという結果を得ていた。しかし、交差交換は一般の結び目では、任意の結び目を移し合うが、仮想結び目では、移しあうとは限らない。対象となる仮想結び目は交差交換によって移りあうことができる仮想結び目の集合であった。令和３年度は、局所変形として、forbidden moveを考え、交差交換の場合と同様の結果を得ている。forbidden moveは任意の仮想結び目を移しあう基本的な局所変形であり、すべての仮想結び目が対象となった点が重要である。また、自明な結び目と同じ不変量の値をとるという条件をみたし、更に交差交換１回で自明な結び目となるという条件をみたす仮想結び目は、自明な結び目に近いものといえる。構成された結び目の特徴を調べることは、仮想結び目不変量の性質を見出す手段となりうる。興味深い結果が得られたので、おおむね順調に進展していると判断できる。
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| Strategy for Future Research Activity |
令和４年度は、まず局所変形forbidden moveによる仮想結び目の距離空間に対する定理の証明を再考し、簡潔にすることを試みる。同時に、自明な結び目と同じ仮想結び目不変量をもつ非自明な仮想結び目の構成とその性質の研究をすすめていく。令和３年度は、コロナの影響で、対面による研究集会がすべてオンラインになった。研究集会に参加し、研究発表をおこない、直接結び目理論研究者と会い、研究打ち合わせを行うという機会がなかった。令和４年度は、コロナの感染の波が収まる期間に、出張をおこない、結び目理論研究者と綿密な議論をおこないたいと考えている。
令和５年は、仮想結び目ではない一般の結び目のCn-moveによる距離空間の研究をすすめ、成果の発表を積極的におこなう。
令和６年度には、一般の結び目の局所変形による距離空間と仮想結び目の局所変形による距離空間の違いを明白にし、その結果、仮想結び目の新たな特徴を見出していくことをめざす。
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| Causes of Carryover |
令和３年度は、コロナの影響で研究集会がすべてオンラインとなった。研究集会に参加し、研究発表をおこない、参加研究者と研究打合せをおこなう予定であったが、叶わなかった。出張費使用がなくなったため、次年度使用額が生じた。今年度は、研究集会の多くが、オンラインと対面の双方で実施が計画されている。昨年度、出席を計画していた研究集会だけでなく、関連分野の研究集会に積極的に参加すること、また、研究者を招待することを予定しており、次年度使用額となった助成金と今年度の助成金を使用する予定である。
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