A study of invariants and local moves for virtual knots

2022 Fiscal Year Research-status Report

• Project/Area Number: 21K03257
• Research Institution: Tokyo Woman's Christian University
• Principal Investigator: 大山 淑之 東京女子大学, 現代教養学部, 教授 (80223981)
• Project Period (FY): 2021-04-01 – 2025-03-31
• Keywords: 仮想結び目 / 局所変形 / 仮想結び目不変量

Outline of Annual Research Achievements

2つの(仮想)結び目が局所変形で移りあうとき、移りあうために必要な局所変形の最少回数は距離の公理を満たし、(仮想)結び目の集合に距離空間の構造 を入れることができる。局所変形による(仮想)結び目の距離空間の特徴を調べることが、本研究の目的の一つである。測地線グラフとは、頂点が(仮想)結び目であり、その(仮想)結び目をあらわす頂点同士のグラフ上での距離が(仮想)結び目の局所変形での距離と一致するグラフである。測地線グラフは、(仮想)結び目の局所変形による距離空間を可視化したものであり、局所変形による(仮想)結び目の距離空間がどの程度の大きさをもつか、判断することができる。局所変形として交差交換を考える。交差交換による仮想結び目の距離空間において、任意に次元の高い格子グラフが測地線グラフであることはすでに証明していた。
前年の令和3年度の成果の１つは、仮想結び目の代表的な不変量が自明な結び目と同じ値となり、交差交換1回で自明な結び目に変形できる非自明な仮想結び目が無限個存することを示したことであった。その証明において、条件をみたす仮想結び目が無限個存在することを示すために、仮想結び目の代表的な不変量よりも、さらに分類能力が高く、かつ計算が複雑な不変量をもちいた。令和４年度の成果は代表的な仮想結び目の不変量だけでなく、令和３年度の結果を導くために用いた分類能力が高い不変量も一致し、交差交換１回で自明な結び目となる仮想結び目が無限個存在することを示した。自明な結び目からの交差交換１の距離に、不変量の観点から自明な結び目に近い非自明な仮想結び目が無限個存在するのである。

Current Status of Research Progress

2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.

Reason

仮想結び目の局所変形による距離空間を研究するためには、仮想結び目の不変量の研究が重要である。令和４年度の結果は、交差交換による局所変形の距離空間において、自明な結び目を中心に距離１の仮想結び目の集合には、代表的な仮想結び目不変量だけでなく、仮想結び目の分類能力が高い特殊な仮想結び目不変量も自明な結び目と一致するような、不変量の観点から自明な結び目に近い仮想結び目が無限個存在するという興味深い結果が得られている。したがって、おおむね順潮に進展していると判断できる。

Strategy for Future Research Activity

令和５年度の研究として、まず令和４年度に得られた結果を、局所変形forbidden moveによる仮想結び目の距離空間においても成立するか考察していく。仮想結び目が無限個存在することを示すには、特殊な仮想結び目不変量を用いる。令和４年度の結果を導くために、最近発見された分類能力が高く計算が大変複雑な不変量を用いた。この結果を得るために様々な仮想結び目を構成した。その際にこの最近発見された分類能力が特に高い不変量も自明な結び目に一致してしまう仮想結び目の例があった。この仮想結び目がはたして自明な結び目なのか、非自明な仮想結び目なのか調べることにより、さらに局所変形による仮想結び目の距離空間の研究を推進していく。

Causes of Carryover

令和３年度はコロナの影響で、研究集会の中止や対面での開催がなく、予定していた出張費等、研究費を使用する機会がほとんどなかった。令和４年度は、研究集会がはじまり、研究者同士の交流も始まったが、本格的な活動はまだ制限されていた。この２年間の状況により、次年度使用額が生じている。今年度は、研究者交流も活発になりつつあり、かつ、12月に研究集会「結び目の数理IV」を開催する予定である。他大学での研究集会参加、及び開催する研究集会のために助成金を使用する計画である。