2021 Fiscal Year Research-status Report
全種数グロモフ・ウィッテン理論におけるリーマン・ヒルベルト問題と可積分構造の研究
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21K03261
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Research Institution | Setsunan University |
Principal Investigator |
中津 了勇 摂南大学, 理工学部, 教授 (10281502)
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Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
高崎 金久 近畿大学, 理工学部, 教授 (40171433)
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Project Period (FY) |
2021-04-01 – 2024-03-31
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Keywords | グロモフ-ウィッテン不変量 / タウ関数 / 可積分階層 / 位相的頂点 / 量子トーラスLie代数 / 量子スペクトル曲線 / リーマン-ヒルベルト問題 / モノドロミー保存変形 |
Outline of Annual Research Achievements |
複素ケーラー多様体のGromov-Witten不変量やそれを含むコホモロジー的場の理論、結び目不変量を与えるChern-Simon理論、ランダム分割などの確率モデルは可積分系研究の観点から見ても極めて興味深い研究対象である。本研究では、Hodge積分、ランダム平面分割、結び目不変量など様々な数学が交差する位相的頂点の方法を題材にして、全種数 Gromov-Witten 理論の可積分構造の解明を目標にしている。Donaldson-Thomas理論のRiemann-Hilbert問題を全種数Gromov-Witten理論に適用できる形式に整備して、位相的頂点の方法からのRiemann-Hilbert 問題の解法を探究しており、壁越え公式や Barnes 多重ガンマ関数などの構成要素を位相的頂点の方法と整合させて、Bridgeland のタウ関数の可積分構造の理解に迫る。これらの課題に主に代数解析学の方法によって取り組んでおり、 可積分系の代数解析的研究で用いられる、Schur 関数、無限次元 Grassmann 多様体、 フェルミオン・ ボゾン Fock 空間、 ホロノミック量子場、 無限次元 Lie 代数などを主な道具として研究を進めている。現在のところ、Bridgeland のタウ関数がWitten-Kontsevich のタウ関数の一般化であるのか明らかにするため、 コニフォールトのRiemann-Hilbert問題とモノドロミー保存変形の解の演算子表示を求めることにより、両者の可積分構造を精査している。 Barnes の多重ガンマ関数との関連も視野に入れている。
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Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
Bridgeland のタウ関数は、GW/DT 対応を通して、Witten-Kontsevich のタウ関数の一般化であると予想できる。現在までの研究方向の延長として、コニフォールドの場合の可積分構造の研究を進めており、一定の成果が期待できるから。
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Strategy for Future Research Activity |
位相的頂点の方法によると、非コンパクト 3 次元トーリック Calabi-Yau 多様体 X の量子スペクトル曲線はq-差分演算子で記述できる。現在までの研究方向の延長として、量子スペクトル曲線と X の Donaldson-Thomas 理論に現れるモノドロミー保存変形の間の関係を調べる。
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Causes of Carryover |
中津は2021年度に海外の研究者とのを予定していたが、COVID感染流行のため中止した。高崎、中津ともに2021年度に国内の研究者との情報交換や研究打ち合わせのための国内出張を予定していたが、COVID感染流行のため中止した。2022年度は後半に情報交換や研究打ち合わせのための国内・海外出張 を計画している。
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