2022 Fiscal Year Research-status Report

全種数グロモフ・ウィッテン理論におけるリーマン・ヒルベルト問題と可積分構造の研究

Research Project

Project/Area Number	21K03261
Research Institution	Setsunan University
Principal Investigator	中津了勇摂南大学, 理工学部, 教授 (10281502)
Co-Investigator(Kenkyū-buntansha)	高崎金久近畿大学, 理工学部, 教授 (40171433)
Project Period (FY)	2021-04-01 – 2024-03-31
Keywords	グロモフ-ウィッテン不変量 / タウ関数 / 可積分階層 / 位相的頂点 / 量子トーラス代数 / 量子スペクトル曲線 / リーマン-ヒルベルト問題 / モノドロミー保存変形
Outline of Annual Research Achievements	複素ケーラー多様体のGromov-Witten不変量やそれを含むコホモロジー的場の理論、結び目不変量を与えるChern-Simon理論、ランダム分割などの確率モデルは可積分系研究の観点から見ても極めて興味深い研究対象である。本研究では、Hodge積分、ランダム平面分割、結び目不変量など様々な数学が交差する位相的頂点の方法を題材にして、全種数 Gromov-Witten 理論の可積分構造の解明を目標にしている。Donaldson-Thomas理論のRiemann-Hilbert問題を全種数Gromov-Witten理論に適用できる形式に整備して、位相的頂点の方法からのRiemann-Hilbert 問題の解法を探究しており、壁越え公式や Barnes 多重ガンマ関数などの構成要素を位相的頂点の方法と整合させて、Bridgeland のタウ関数の可積分構造の理解に迫る。これらの課題に主に代数解析学の方法によって取り組んでおり、可積分系の代数解析的研究で用いられる、Schur 関数、無限次元 Grassmann 多様体、フェルミオン・ボゾン Fock 空間、ホロノミック量子場、無限次元 Lie 代数などを主な道具として研究を進めている。現在のところ、Bridgeland のタウ関数が Witten-Kontsevich のタウ関数の一般化であるのか明らかにするため、コニフォールドのRiemann-Hilbert 問題とモノドロミー保存変形の解を演算子形式による表示を求めることにより、両者の可積分構造を精査している。 Barnes の多重ガンマ関数との関連も視野に入れている
Current Status of Research Progress	Current Status of Research Progress 3: Progress in research has been slightly delayed. Reason Bridgeland のタウ関数は、GW/DT 対応を通して、Witten-Kontsevich のタウ関数の一般化であると予想できる。現在までの研究方向の延長として、コニフォールドの場合の可積分構造の研究を進めており、一定の成果が期待できる。高崎はGW不変量に関連する可積分階層について考察を進めて2編の論文にまとめた。
Strategy for Future Research Activity	位相的頂点の方法によると、非コンパクト 3 次元トーリック Calabi-Yau 多様体 X の量子スペクトル曲線はq-差分演算子で記述できる。現在までの研究方向の延長として、量子スペクトル曲線と X の Donaldson-Thomas 理論に現れるモノドロミー保存変形の間の関係を調べる。
Causes of Carryover	中津は2022年度に海外の研究者との情報交換や研究打ち合わせのための海外出張を予定していたが, COVID-19の影響で延期した。2023年度に行う予定である。