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2023 Fiscal Year Research-status Report

Combinatorial invariant and topology of T-spaces with extended actions

Research Project

Project/Area Number 21K03262
Research InstitutionOkayama University of Science

Principal Investigator

黒木 慎太郎  岡山理科大学, 理学部, 教授 (90433309)

Project Period (FY) 2021-04-01 – 2026-03-31
KeywordsGKMグラフ / 同変コホモロジー / 複素二次超曲面 / GKM多様体 / 自己同型群 / Hessenberg多様体
Outline of Annual Research Achievements

令和5年は、特にロシアの研究者Grigory Solomadin氏を半年ほど岡理大に招待して共同研究を精力的に進めることができた。共同研究の中で、等質空間上のトーラス作用のtangential weightの独立性に関する結果を得ることができた。実際、等質空間の場合は、2,3,nの独立性しか現れないということが分かった(n-independencyの場合はトーラス多様体になる)。GKM多様体の独立性はその軌道空間のトポロジーとも密接にかかわるもので、我々の結果とAyzenberg-Masuda-Solomadinの結果から等質空間の軌道空間のコホモロジーは低い次元では消えていることが分かる。トーラス多様体以外のGKM多様体で、4以上の独立性を持つものがあるかどうかは我々の知る限り具体例が見つかっていない。GKMグラフの立場からはSolomadin氏が人工的ではあるが構成しているが、それに対応するGKM多様体は存在しないことを彼自身が証明している。
他にも、偶数次元複素二次超曲面の同変コホモロジー環を決定して、プレプリントとしてarXivに掲載した(arXiv:2305.11332)。この結果を出したことにより、年度末からBidhan Paul氏(IITマドラス)との共同研究が始まり、令和6年の初頭に奇数次元複素二次超曲面の同変コホモロジー環を完全に決定することができた。
また、枡田幹也氏(OCAMI)、佐藤敬史氏(OCAMI)、Donghoon Jang氏(プサン大学)、Haozhi Zeng(華中科技大学)と概複素構造を持つGKM多様体の具体的な構成に関して研究が始まった。その研究の派生として、Semisimple Hessenberg多様体のAutomorphismの簡約部分群は(旗多様体でなければ)複素トーラスになることもGKM理論を応用して証明することができた。

Current Status of Research Progress
Current Status of Research Progress

1: Research has progressed more than it was originally planned.

Reason

研究計画書に書いたGKM多様体のルート系に関する研究はGKM多様体のAutomorphismの決定に関する研究に深くかかわっている。この問題と直接関係のある結果がSemisimple Hessenberg多様体という限定されたクラスに対してだがGKM理論を応用することで得ることができた。この結果を得ることができたのは、今まで共同研究をしてこなかったグループと共同研究をする機会を得ることができたことが大きい。
また、前年度に得ていた偶数次元複素二次超曲面の同変コホモロジーの論文を書き上げてarXivに掲載したことにより、(共同研究者のV. Uma氏の学生である)Bidhan Paul氏と知り合うことができ、共同研究を進めることができた。これは予期していなかった進展であり、今後研究者間のネットワークを広げることができると思う。
他にもSolomadin氏と共同研究は計算は大変であるが、誰も確認してこなかったところをきちんと確認し、新しい問題も提起できた。また、彼との共同研究をきっかけにフランスのストラスブール大学にも滞在することができた。これは当初思い描いていた研究計画から想像できなかった方向に展開している。
研究実績の欄には書けなかったが、トロント大(現テルアビブ大)のYael Karshon教授とのlocally standardなトーラス多様体の分類に関する研究について証明が完成した。現在は論文完成に向けてほぼ毎週研究打ち合わせを行っている。この研究に関しても研究計画提出当初はどこまで進むか予想はできなかったのだが順調に進展している。
以上の理由から令和5年度は研究が非常に進んだ(もしくは令和6年以降の研究の種を沢山まくことができた)、年度であったと言える。この理由により、当初の計画以上に進展していると考えても良いと思われる。

Strategy for Future Research Activity

令和6年度は8月にトロント大学で開かれる国際会議『Workshop on Toric Topology』に招待講演者として招かれている。また、12月にもインドのIITマドラスに連続講演を行ってくれるように招待されている。また、最終年度の令和7年度にも(まだ情勢が不安定ということもあって確定していないが)イスラエルで行われるGKM多様体に関する国際会議にも招待されている。残りの科研費は主にこれらの研究集会への旅費として使用したいと考えている。
令和6年度の論文作成計画としては、B.Paul氏との共同研究である奇数次元複素二次超曲面の同変コホモロジー環の論文を書き上げて早めに投稿することを目指したい。また、Jang-Masuda-Sato-Zengとの共同研究であるHessenberg多様体のAutomorphismに関しては夏までに論文が投稿できるのではないかと考えている。Y.Karshon氏との共同研究はトロント大の国際会議の前までには完成を目指したい。Solomadin氏との論文も、どう書いていいのか考えないといけないところが多いのだが、Solomadin氏と連絡を密に取りながら今年度中の投稿を目指したい。
令和6年に進める研究計画としては、ICUの松村朝雄氏と行っているGKMグラフのGale dualに関する結果を出したいと思う。かなり進んではいるのであとは最後の一歩のところまで来ているので今年度か遅くても研究計画最後の年である令和7年度までは結果を出したい。他にもJang-Masuda-Sato-Zengとの概複素構造を持つGKM多様体の構成に関して研究を進めたい。この研究が完成すれば、今まで具体的に明記されてこなかった深い部分まで理解できそうな予感のする研究なので、きっとGKM多様体のルート系にもつながっていく研究になると予想している。

Causes of Carryover

フランスへ行くために前借請求を行った。当初の予定より予算を抑えることができたので、次年度使用額が生じた。令和6年度は海外出張へ2回行く予定なので、そのために使用したい。

  • Research Products

    (14 results)

All 2024 2023 Other

All Int'l Joint Research (5 results) Journal Article (1 results) Presentation (7 results) (of which Int'l Joint Research: 1 results,  Invited: 6 results) Remarks (1 results)

  • [Int'l Joint Research] HSE(ロシア連邦)

    • Country Name
      RUSSIA FEDERATION
    • Counterpart Institution
      HSE
  • [Int'l Joint Research] IITマドラス(インド)

    • Country Name
      INDIA
    • Counterpart Institution
      IITマドラス
  • [Int'l Joint Research] トロント大学(カナダ)

    • Country Name
      CANADA
    • Counterpart Institution
      トロント大学
  • [Int'l Joint Research] プサン大学(韓国)

    • Country Name
      KOREA (REP. OF KOREA)
    • Counterpart Institution
      プサン大学
  • [Int'l Joint Research] 華中科技大学(中国)

    • Country Name
      CHINA
    • Counterpart Institution
      華中科技大学
  • [Journal Article] On a certain condition for the projectivization of a leg bundle to become a GKM graph2024

    • Author(s)
      Shintaro Kuroki
    • Journal Title

      数理科学研究科講究録

      Volume: 2276 Pages: 1,7

  • [Presentation] トーリックトポロジー入門2024

    • Author(s)
      黒木慎太郎
    • Organizer
      岡山理科大学研究者交流会(ポスター発表)
  • [Presentation] Equivariant cohomology of even-dimensional complex quadrics from a combinatorial point of view2024

    • Author(s)
      Shintaro Kuroki
    • Organizer
      Seminaire Algebre et topologie at IRMA (Strasbourg University)
    • Invited
  • [Presentation] Equivariant cohomology of even-dimensional complex quadrics from a combinatorial point of view2024

    • Author(s)
      Shintaro Kuroki
    • Organizer
      TGTC Workshop 2024 in Himeji
    • Int'l Joint Research / Invited
  • [Presentation] Classification of 6 and 8-dimensional complexity one GKM manifolds with Sp(2)-extended actions2023

    • Author(s)
      Shintaro Kuroki
    • Organizer
      Himeji seminar on geometry of torus actions 2023
    • Invited
  • [Presentation] On a certain condition for the projectivization of a leg bundle to become a GKM graph2023

    • Author(s)
      Shintaro Kuroki
    • Organizer
      RIMS meeting 2023, Geometry and topology of transformation groups
    • Invited
  • [Presentation] トーリックトポロジー入門2023

    • Author(s)
      黒木慎太郎
    • Organizer
      信州大学集中講義(3日間)
    • Invited
  • [Presentation] 2,3,n-independency of tangential weights of G/K2023

    • Author(s)
      黒木慎太郎
    • Organizer
      The 5th workshop on the Hessenberg variety
    • Invited
  • [Remarks] Shintaro KUROKI's HOME PAGE

    • URL

      https://www.xmath.ous.ac.jp/~kuroki/index.html

URL: 

Published: 2024-12-25  

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