Sharp bound of the spectral gap for particle systems

2021 Fiscal Year Research-status Report

• Project/Area Number: 21K03267
• Research Institution: Niigata University
• Principal Investigator: 永幡 幸生 新潟大学, 自然科学系, 教授 (50397725)
• Project Period (FY): 2021-04-01 – 2024-03-31
• Keywords: スペクトルギャップ / 粒子系 / ランダムウォーク

Outline of Annual Research Achievements

本研究の主目的であるzero range process のスペクトルギャップの研究に関して、既存研究である、Landim-Sethuraman-Varadhan らによる研究の拡張を行っている。非常に一般的な拡張を目指しているが、現時点においては、技術的な制約が必要であることが分かった。
スペクトルギャップの評価においては、「Lu-Yauによるマルチンゲール法の適用」「1点関数のスペクトルギャップの評価」「漸化式の構成およびその一般項の評価」に分割できるが、この制約は最後に挙げた一般項の評価に起因するものである。同時に1点関数のスペクトルギャップの評価を行っているが、こちらは（特殊な）出生死滅過程のスペクトルギャップの評価と同値になるが、予想通りの良い結果を得られている。一方で一部のモデルに関しては上に挙げた技術的制約を満たさない結果となってしまっている。
本研究のもう一つの方法論である、計算機援用により、ペロン・フロベニウスの定理の証明を基にした作用素（行列）の反復作用による第2固有関数（ベクトル）および第2固有値の近似法の構築に向けて、計算機の購入及び、ソフトウェア（ｃ言語）の導入を行った。これらのソフトウェアなどが正確に動くことと、実際に想定している、反復計算が機能するかを確かめるために、第2固有値、第2固有関数がよく知られている、ランダムウォークモデルにおいて実験を行い、一部、注意しながら運用しなければならない部分を発見したが、予想に近い良い結果を得ることができた。

Current Status of Research Progress

2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.

Reason

研究自体は順調に進んでいると思われるが、予定していた情報収集が、コロナの影響で出張を控えたため進んでいない。

Strategy for Future Research Activity

予定通り、Landim-Sethuraman-Varadhan の方法論を用いて一般的なzero range process に対してスペクトルギャップの評価を行うが、非常に関係の深い log Sobolev 不等式の評価も同時に行うことも検討する。
計算機援用の研究に関しても、モデルを少しずつ複雑化していく。

Causes of Carryover

コロナの影響で出張を控えたため、旅費の部分で大きく余剰分が発生した。本年度と来年度に出張を申請時の予定より増やすのに加えて、オンラインでの情報収集に使用可能なコンピュータ関連機器を購入する費用とする。