Sharp bound of the spectral gap for particle systems

2022 Fiscal Year Research-status Report

• Project/Area Number: 21K03267
• Research Institution: Niigata University
• Principal Investigator: 永幡 幸生 新潟大学, 自然科学系, 教授 (50397725)
• Project Period (FY): 2021-04-01 – 2024-03-31
• Keywords: スペクトルギャップ / 粒子系

Outline of Annual Research Achievements

本研究の主目的であるzero-range process のスペクトルギャップの研究に関して、既存研究の拡張に関して、制約はつくものの、満足のできる結果を得ることができた。
より詳しく述べると、以下のようなものである。既存研究である Landim-Sethurman-Varadhan らによる研究では「Lu-Yauによるマルチンゲール法の適用」「1点関数のスペクトルギャップの評価」「漸化式の構成およびその一般項の評価」に分割できるが、「1点関数のスペクトルギャップの評価」に関しては１年目に期待される良い結果を得られている。２年目である本年度は「Lu-Yauによるマルチンゲール法の適用」を研究したが、そもそも既存研究においては、期待される（得られる）スペクトルギャップは粒子数密度には依存しない。それに対して本研究で取り扱うものは期待されるスペクトルギャップが粒子数密度に依存する。マルチンゲール法を適用するにあたって、ヘルダー型の関数不等式を適用する必要があるが、既存研究においては粒子数密度に依存しないため、ヘルダー型の関数不等式を適用すれば、期待する結果を得られていたのに対して、粒子数密度に依存する場合にヘルダー型の不等式を適用すると、期待する結果を得ることができない。これに対して本研究ではヘルダー型の不等式を使わずに、モデルの特性を活用して評価をすることにより、マルチンゲール法を適用可能になり、その結果「漸化式の構成およびその一般項の評価」もクリアすることができ、粒子数密度に依存したスペクトルギャップの評価をすることが可能になった。ただしモデルの特性を活用するため、制約条件が必要となる。

Current Status of Research Progress

3: Progress in research has been slightly delayed.

Reason

既存研究の拡張に関しては、十分な結果を得られたが、もう一つの計算機を用いた研究が、zero-range process を含むような粒子系で、どのように実装するかで、困難な状況にある。

Strategy for Future Research Activity

既存の研究の拡張に関して、論文にまとめ公表する。
計算機を用いた研究に関しては、ひとまず粒子系よりは単純で、かつ自明でない問題例に関して実装を試みる。

Causes of Carryover

令和5年度に国際研究集会を行い、外国人研究者を招聘するために予定より少ない使用額とした。令和４年度における「次年度使用額（B-A)」が外国人研究者を招聘する予算で、令和５年度支払い請求額が本人の旅費を中心として、物品費等も含めた予算とする。