2021 Fiscal Year Research-status Report
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21K03272
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| Research Institution | University of the Ryukyus |
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Principal Investigator |
林 正史 琉球大学, 理学部, 准教授 (90532549)
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2021-04-01 – 2024-03-31
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| Keywords | 確率解析 / 無限分解可能分布 / マルコフ連鎖 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
CME+分布の密度関数についての研究を山里眞氏(琉球大学)および竹内敦司氏(東京女子大学)と行った。CME+分布とは、正規分布の項を持たない無限分解可能分で、そのレヴィ測度が絶対連続で、さらにその密度関数が実軸上のある測度のラプラス変換として表されるものである。本研究では測度の台は全て非負の領域に含まれているものを考えている。CME+分布はBondesson族の分布と呼ばれることもある。 一次元の一般化された拡散過程の初到達時刻や、逆局所時間の分布はCME+分布であることが知られている。初到達時刻や逆局所時間はマリアバン解析の意味で特異であり、解析が困難である。本研究では、逆フーリエ変換の手法を用いることでCME+分布の正の領域での密度関数に関する時空間の有界性と、時間発展したときの退化の速さを調べた。
エレファントランダムウォークの中心極限定理におけるモーメント収束の速さについて、竹居正登氏(横浜国立大学)と共同研究を行った。エレファントランダムウォークは、SchutzとTrimperらによって導入されたモデルで、時間的に非一様なマルコフ連鎖である。二つのパラメータpとqを持つ。qは一歩目の分布を表すパラメータで、pは過去の挙動との依存を表すパラメータである。近年、エレファントランダムウォークを時間発展させたときの極限定理について多くの研究がなされている。pが3/4より大きくなると過渡的な挙動をするが、pの値が3/4以下のときは、通常の単純対称ランダムウォークに近い漸近挙動をする。特に中心極限定理が成り立つことが知られている。本研究では、pが3/4より小さいときに中心極限定理におけるモーメント収束の速さについて研究を行った。特に4次以上の偶数次モーメントの収束では、pが1/2の前後で収束の速さに差異が現れることを示した。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
マリアバン解析などの解析的な手法を用いることができない、初到達時刻や逆局所時間過程の分布の密度関数について一定の成果をあげることができた。また、本研究で得られた逆フーリエ変換の手法を用いると、密度関数の滑らかさなどの結果が得られることが期待できる。
エレファントランダムウォークについて、Berry-Esseen型の評価が知られている(Fan, X., Hu, H., and Ma, X. (2021)). その評価においてpが1/2の前後で収束の速さに差異が出てくることが予想されていた。本研究により、モーメント収束の形であるが、明確な形で収束のオーダーに差異が現れることを示すことができた。
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| Strategy for Future Research Activity |
CME+分布について、複合ポアソン分布の場合は原点周辺での有界性について、一定の結果が得られたが、絶対連続である場合には、原点周辺の有界性について明白な結果が得られていない。今後の課題として取り組みたい。また、ドリフト項を持つ場合や、分布の台が負の領域にも広がる場合に、今回得られた研究成果と同等の評価などが得られるか検討する。
エレファントランダムウォークについて、pが3/4より大きいときは、エレファントランダムウォークを適当にスケール変換すれば、ある確率変数に概収束することが知られている(Bercu, B., Chabanol, M.-L., and Ruch, J.-J. (2019)). この確率変数の分布の性質はまだあまりよく知られていない。また、この確率変数との誤差は正規分布に収束することが知られている(Kubota, N. and Takei, M. (2019))が、この場合のモーメント収束の速さについてもまだ知られていない。今後はこのような課題に取り組む。
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| Causes of Carryover |
次年度使用額が生じた理由. コロナウィルスの感染拡大のため、研究打ち合わせや研究集会への参加のための出張ができなかったため.
使用計画について. 共同研究打ち合わせのため、横浜国立大学及び芝浦工業大学へ出張する. また、研究成果の発表のため研究集会に参加する費用として使用する.
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