Research of quantum group actions on operator algebras

2021 Fiscal Year Research-status Report

• Project/Area Number: 21K03280
• Research Institution: Waseda University
• Principal Investigator: 戸松 玲治 早稲田大学, 教育・総合科学学術院, 教授 (70447366)
• Project Period (FY): 2021-04-01 – 2024-03-31
• Keywords: von Neumann環 / C*環 / テンソル圏 / 量子群

Outline of Annual Research Achievements

今年度は局所コンパクト群とvon Neumann環の作用について研究を行った．とくにHilbert第5問題の肯定的解決(岩澤，Montgomery--Zippen, Gleason，山辺ら)の結果を用いて，特別な場合には，局所コンパクト群の作用の研究をLie群の作用の研究に帰着できることを示した．さらによい場合には，べき零Lie群と半単純Lie群の作用を個別に研究すればよいこともわかった．局所コンパクト群のうち，特に連続群については作用素環論的な取り扱いが難しいため，具体的な分類のある半単純Lie群の作用について調べることができることは，表現論や離散格子の理論など幅広い技術を活用できる可能性があり，これからの進展を期待でき
る．

また別の話題として，離散量子群のランダムウォークからできるPoisson境界上のvon Neumann環の中心について研究を行った．Poisson境界上のvon Neumann環は古典的部分が量子的部分の中心に入っているが，これが一致するかどうかが問題となる．これを解くために無限テンソル積と相対可換子環によるPoisson境界の記述を用いたが，ユニタリ表現の収束の問題が非常に微妙であることがわかった．またWoronowicz指標は標準的な非有界調和元を与えるが，この役割を明らかにすることも今後の課題である．
この問題に関連して，量子群上のvon Neumann環の部分双環がやはり量子群であるかどうかについて考察し，離散量子群の場合は直接的な証明を与えた．

Current Status of Research Progress

3: Progress in research has been slightly delayed.

Reason

量子群の極小作用については，現状知られている方法を工夫してもうまく構成できていない．また実数群の外部作用については結果を導く十分条件を与えられたが，任意の外部作用がこの条件をみたすことを示せていない．

Strategy for Future Research Activity

今後はPoisson境界に忠実に作用する量子群を特徴づけるため，部分双環の問題に取り組みたい．また実数群の外部作用については接合積に付随する双加群を
使って考察する．

Causes of Carryover

コロナによる出張制限が主な理由である．状況は大分よくなってきているため今年度から積極的に出張をしたいと考えている．