2021 Fiscal Year Research-status Report
Quantitative research on stochastic processes in random media
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21K03286
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| Research Institution | University of Tsukuba |
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Principal Investigator |
福島 竜輝 筑波大学, 数理物質系, 准教授 (60527886)
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| Project Period (FY) |
2021-04-01 – 2024-03-31
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| Keywords | ランダム媒質 / パーコレーション / 高分子模型 / 最速浸透問題 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
まず外国人特別研究員として受け入れていたStefan Junk氏と共同で，向きづけられたパーコレーションの路の数の漸近挙動が，関連する高分子模型の零温度極限として理解できるという結果の証明を完成させ，学術誌に投稿した．とくにこのことから増大度を表す指数が，モデルのパラメータについて連続であるという重要な結果が従う．これは先行研究をおこなったフランスのグループ(Garet-Gouere-Marchand)が論文中に未解決問題として残した問題であり，申請時の研究目的の中で最も重要な課題の一つであった．またこの研究の中で「測度の集中」と呼ばれる技法を適用する際に，頻繁に問題になる障害を克服する新しい方法も提示している．この他にある向きづけられたグラフの上の最速浸透問題についても研究を行い，その最適経路の幾何学的形状について，系のサイズを大きくするときに非有界な飛躍を含むという結果を得た．次にMott random walkと呼ばれるランダム媒質中のランダムウォークの模型についても並行して研究を行った.こちらは前年度までに研究した場合よりもさらに特異性が高い場合について研究し，そのスケール極限を以下の二つの意味で決定した:
1.ランダムウォークの訪問点が極値統計理論に現れるある確率過程で表せること，
2.固定した時刻での分布が，ランダムウォークのそれまでの最大値と最小値の間に一様分布すること．
この研究に関する成果は，論文にまとめているところである．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
パーコレーションの路の数については，研究計画通りの結果が得られ，重要な進展となった．またMott walkの研究でも，当初予定していた通りの成果を得ることができている．一方でこれらの成果を論文にまとめるにあたっては，とくにパーコレーションの問題で新しい技法を用いたことで技術的に非常に複雑になる部分を丁寧に説明する必要があり，多くの時間を取られることとなった．このために，本年度に本来手をつけるべきであった他の課題への準備は，想定より遅れている状況である．しかし，ともかく重要な二つの課題が決着したので，次年度以降はほかの課題にも集中できると考え，概ね順調と判断した．
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| Strategy for Future Research Activity |
今後はIoffe氏や，den Hollander氏と始めた高分子模型の共同研究にさらに注力していく予定である．前者については，Ioffe氏の本研究開始前の急逝により，代表者が同氏の研究について深く理解するところから出発する必要があるが，これはこの報告書を書いている時点では大きな障害なく進んでいる．後者については，日蘭の共同研究集会が毎年開催されるようになったこともあり，den Hollander氏と折に触れて議論はしているが，元来非常に難しい問題であるので，時期を見て同氏を訪問し，より集中的に共同研究を進める必要があると考えている．しかしながら新型コロナウイルスの感染拡大について予測ができず，明確な計画を立てるのには依然として困難がある．
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| Causes of Carryover |
本研究の申請時には，新型コロナウイルスの感染拡大について予想が難しかったため，数件の国内および海外出張を予定に含めて予算の計画を立てた．しかしながら実際には2021年度には国内出張も一度も行うことができなかったため，未使用額が発生した．2022年度には夏以降に数件の出張を予定しており，それが可能であれば繰り越した助成金を活用できるものと考えている．
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