2022 Fiscal Year Research-status Report
Quantitative research on stochastic processes in random media
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21K03286
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| Research Institution | University of Tsukuba |
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Principal Investigator |
福島 竜輝 筑波大学, 数理物質系, 准教授 (60527886)
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| Project Period (FY) |
2021-04-01 – 2024-03-31
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| Keywords | 確率過程 / 測度の集中 / 統計物理 / ランダム媒質 / 有効抵抗 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本年度はまず，Stefan junk氏と共同で研究していた向きづけられた高分子模型の零温度極限とパーコレーションにおける路の数の関係に関する研究を完結させ，学術誌に公表することができた．この研究では測度の集中現象を利用することで，有限体積自由エネルギーの熱力学極限での収束の速さを制御することが重要なステップであるが，パーコレーション特有の摂動に関する特異性が障害になって，既存の結果を直接適用することができないところに困難があった．これを，ランダム媒質の一部に独立なコピーを挿入し，その影響をパーコレーション特有の大偏差評価によって抑え込むことで解決した．技術的にも先例のない方法であり，ランダムグラフの他の問題にも役立つのではないかと思われる．
次にDavid Croydon氏，Stefan junk氏と共同でMott variable range hoppingと呼ばれる，ランダム媒質中のランダムウォークの研究を行った．この模型はAnderson局在を呈する媒質の中での電子の稀な移動を表すものであり，高次元では拡散的スケーリングの下でBrown運動に収束することが，先行研究で示されている．一方で一次元のあるパラメータ領域では拡散的なスケーリングでの極限が退化することが知られていた．この研究では，劣拡散的なスケーリング指数を決定し，さらに確率過程の法則収束の意味で極限過程を決定した．この研究の直前に，少し単純な模型に対してはQuentin BergerとMichele Salviが類似の結果を示しているが，我々の方法はランダムなグラフを電気回路と見なしたときの有効抵抗を距離として，そのGromov-Hausdorff収束を示すというもので，より洗練されたものと言える．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
高分子模型の零温度極限とパーコレーションにおける路の数の関係に関する研究は，研究計画の中の主要な問題の一つであり，これを望ましい設定で解決したことは本研究の重要な進展と言える．Mott variable range hoppingの問題は，当初の計画にはなかった問題であるが，均質化問題に関係する問題という意味では深く関係する問題である．これについて重要な結果が得られたことも，本研究の計画に沿う方向での進展と言える．一方で，均質化が起こっている状況での大偏差原理のレート関数の研究やランダムに荷電した高分子模型の自由エネルギーの研究については，オンライン講義などの対応で教育関係の活動に予想外に時間を取られたことでやや遅れている．これらを総合して，概ね順調に進展していると考えている．
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| Strategy for Future Research Activity |
ランダムに荷電した高分子模型の自由エネルギーの研究については，既に共同研究者のFrank den Hollander氏を招聘して，今後の研究方針について打ち合わせを行なった．当初の計画ではまったく一般のモデルを対象とする予定であったが，有効ポテンシャルの分解という基本的な段階でやや難しい点があることが判明したので，まずはGaussian模型などの特殊な模型に限って解析を進めるなどの方針を検討している．Mott variable range hoppingの問題は，冪乗スケールで劣拡散的な状況は全て解決したが，さらに特異性が高い場合には異なるスケール極限が現れることを予想しており，その確立を目指して研究を進める．
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| Causes of Carryover |
新型コロナウイルス感染症の収束に時間がかかり，研究集会の中止やオンライン化が続いたため，出張の機会が当初の予定より少なくなった．次年度には数理解析研究所訪問滞在型研究「確率過程とその周辺」に関連する研究集会への海外ゲストの招聘がある他，ポルトガルで開催される大規模国際研究集会"Stochastic Processes and Their Applications"への出張もあるため，本年度に予定していた使用額を同様の目的で使うことができる見込みである．
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