Holomorphic maps between Riemann surfaces

2021 Fiscal Year Research-status Report

• Project/Area Number: 21K03287
• Research Institution: Tokyo Institute of Technology
• Principal Investigator: 田辺 正晴 東京工業大学, 理学院, 助教 (60272663)
• Project Period (FY): 2021-04-01 – 2026-03-31
• Keywords: 複素解析 / リーマン面

Outline of Annual Research Achievements

リーマン面間の正則写像の剛性に関する緒性質を、ヤコビ多様体間の準同型の言葉で表現し、 それら定理の結びつきについて、新しい視点を提供することを目指して研究を進めている。特に、実リーマン行列と呼ばれる複素共役を取ることに対応する、ヤコビ多様体の実構造に作用する自己同型を使い研究を進めた。実リーマン行列とヤコビ多様体の自己準同型の実表現が可換であること等から、数の幾何学に於ける格子点の理論の適用が容易であり、 そこから正則写像達の分布の幾何学的イメージが描きやすい。
具体的には、コンパクトリーマン面間の正則写像の数の種数にのみ依存する上界の改良、コンパクトリーマン面間の２つの正則写像の一致点の性質についての研究を行った。
また、有理数体の代数的閉体上定義されたリーマン面はリーマン球上の3点分岐曲面であることと必要十分であるというBelyiの定理は有名であり、このようなリーマン面はBelyi surface、3点分岐写像をBelyi 関数と呼ばれている。Belyi surfaceからの非定値正則写像があるリーマン面もBelyi surfaceであることを Gonzalez-Diez氏が示しているが、これの別証明についても考えてみた。Belyi surfaceからの非定値正則写像をヤコビ多様体間の準同型に拡張しその上でBelyi 関数の因子の像について調べている。
アーベルの定理から、Belyi 関数の因子の像を因子に持つような有理型関数を値域となるリーマン面も持つことはわかる。分岐3点を0,1,無限大に取るとして1の上の点達の挙動について調べている。

Current Status of Research Progress

3: Progress in research has been slightly delayed.

Reason

コンパクトリーマン面間の正則写像の数の種数にのみ依存する上界の改良、コンパクトリーマン面間の２つの正則写像の一致点の性質についての研究で、はっきりとした成果が出せなかった。何か新しい良いアイデアが必要である様に感じる。コロナ禍により、授業が全てオンライン化され、それの準備や行ったテスト、レポートの採点集計にかなり時間が必要であった。また、研究課題が近い他の研究者に直接会って意見交換する機会も作り難かった。

Strategy for Future Research Activity

コンパクトリーマン面間の正則写像の数の種数にのみ依存する上界の改良、コンパクトリーマン面間の２つの正則写像の一致点の性質についての研究について進展が見られないようなら、研究実績の概要で書いたBelyi曲面の性質について多くの時間を割きたい。具体的には、Belyi surfaceからの非定値正則写像があるリーマン面もBelyi surfaceであることの別証明と、それに関して値域となるリーマン面でのBelyi 関数の因子と上の面のBelyi 関数の因子との関連等である。

Causes of Carryover

コロナ禍により、出張が全く出来ず次年度使用額が生じた。現在、少しずつ対面での集会が出てきているので、次年度は出張の機会を持ちたい。