Holomorphic maps between Riemann surfaces

2022 Fiscal Year Research-status Report

• Project/Area Number: 21K03287
• Research Institution: Tokyo Institute of Technology
• Principal Investigator: 田辺 正晴 東京工業大学, 理学院, 助教 (60272663)
• Project Period (FY): 2021-04-01 – 2026-03-31
• Keywords: 複素解析 / リーマン面 / 正則写像

Outline of Annual Research Achievements

コンパクトリーマン面間の，正則写像の数の種数にのみ依存する上界の改良、コンパクトリーマン面間の２つの正則写像の一致点の性質について研究を進めた．
特に，種数2以上のコンパクトリーマン面間の正則写像について，ホモロジー群間に誘導される準同型による表現の研究を行った．その結果，正則写像fが非分岐かつ位数が素数である場合は，始集合となるリーマン面をXとすると，X上の1つの自己同型Tにより生成される巡回群<T>によりXを割ることにより正則写像は，f:X to X/<T>と表されることが示せた．これは，以前示した結果，
「種数2以上のコンパクトリーマン面X, Y間の正則写像の位数が素数であるとき，ホモロジー群間に誘導される準同型による表現は，X, Yで標準ホモロジー基底をうまく取れば，2つの行列表現のうちどちらかになる．」を発展させたものとなる．X, Yで標準ホモロジー基底をうまく取り，限られた行列表現に帰着させるという問題は，もともとはリーマン面の周期行列のreductionに関するポアンカレの研究から派生したものである．その後，H.H. Martensにより，「種数2以上のコンパクトリーマン面X, Y間の正則写像の位数が素数であるとき，ホモロジー群間に誘導される準同型による表現は，X, Yで標準ホモロジー基底をうまく取れば，いくつかの行列表現のうちどれかになる．」ことが示されていた．

Current Status of Research Progress

3: Progress in research has been slightly delayed.

Reason

研究初年度から当該年度前半にかけて，コロナ禍の影響により内外の研究者との直接の交流が限られ，アイデアや意見の交換が出来にくかったこともあり，なかなか新しい成果が出なかった．
しかし，研究実績の概要にも書いたように新しい発見も出たきたので，現在までの進捗状況はやや遅れているとする．

Strategy for Future Research Activity

種数2以上のコンパクトリーマン面間の正則写像について，ホモロジー群間に誘導される準同型による表現について研究を行った．その結果，正則写像fが非分岐かつ位数が素数である場合は，始集合となるリーマン面をXとすると，X上の1つの自己同型Tにより生成される巡回群<T>によりXを割ることによりfは，f:X to X/<T>と表されることが示せたので，この結果を位数が素数とは限らない場合に拡張できないかを考える．
拡張のされ方によっては，種数2以上のコンパクトリーマン面X, Y間の非分岐正則写像の数を，Xの種数のみを変数とする多項式により上から評価出来ると思うので，それについても研究を進める．
研究当初の課題，コンパクトリーマン面間の，非分岐とは限らない，正則写像の数の種数にのみ依存する上界の改良、コンパクトリーマン面間の２つの正則写像の一致点の性質についての研究についても取り組んでゆく．

Causes of Carryover

次年度使用額は145円と僅かであり，あえて特に必要ないものを購入して帳尻合わせをするということはしなかった．
ボールペンの購入に使用する計画である．