Holomorphic maps between Riemann surfaces

2023 Fiscal Year Research-status Report

• Project/Area Number: 21K03287
• Research Institution: Tokyo Institute of Technology
• Principal Investigator: 田辺 正晴 東京工業大学, 理学院, 講師 (60272663)
• Project Period (FY): 2021-04-01 – 2026-03-31
• Keywords: 複素解析 / リーマン面

Outline of Annual Research Achievements

コンパクトリーマン面間の正則写像の剛性に関する緒性質を，ヤコビ多様体間の準同型の言葉で表現し，それら定理の結びつきについて，新しい視点を提供することを目指して研究を進めた．特に，種数2以上のコンパクトリーマン面間の正則写像について，ホモロジー群間に誘導される準同型による表現の研究を行った．
「種数2以上のコンパクトリーマン面X, Y間の正則写像の位数が素数であるとき，ホモロジー群間に誘導される準同型による表現は，X, Yで標準ホモロジー基底をうまく取れば，いくつかの行列表現のうちどちらかになる．」ことがH.H. Martensにより示されている．X, Yで標準ホモロジー基底をうまく取り，限られた行列表現（normal formと呼ばれる）に帰着させるという問題は，もともとはリーマン面の周期行列のreductionに関するポアンカレの研究から派生したものである．その後の研究でH.H. Martensの上の結果，normal formの数は２つの表現行列であることが示せていた．これを発展させて，結局正則写像の位数が素数であるときは，「標準ホモロジー基底をうまく取ればの」部分は正則自己同型であり，正則写像の数は，normal formの数２つに，X，Yの正則自己同型の数を掛けたもの以下であると予想し，証明を考えてきた．結果としては，まだ成功していない．

Current Status of Research Progress

4: Progress in research has been delayed.

Reason

この問題に関して，これまでに知られている手法は全て試したように思うが，それでも特には進展が得られなかった．全く別の切り口，手法を思いつくことが必要であると感じている．

Strategy for Future Research Activity

種数2以上のコンパクトリーマン面間の正則写像について，位数が素数とは限らない場合のホモロジー表現についても考えてみる．また，コンパクトな面に限らず，ノード付きリーマン面もこの問題での研究対象とすることも考える．ノード付きリーマン面に関しては，上記のnormal formの様な研究は見当たらないので，研究対象として十分価値あるものと思われる．

Causes of Carryover

５月のコロナ5類指定以前は，出張を控えていた．それ以後も，研究が思う様に進展しないこともあり，出張は国内１回のみに留まった．これからは，内外の研究者との交流を深め，問題解決の手がかりを得るために，海外への出張も視野に入れて，出張費用に多くを割く予定である．