ウェーブレットとラドン変換を用いた函数空間論の新たな展開

2021 Fiscal Year Research-status Report

• Project/Area Number: 21K03293
• Research Institution: Nara Women's University
• Principal Investigator: 森藤 紳哉 奈良女子大学, 自然科学系, 教授 (30273832)
• Project Period (FY): 2021-04-01 – 2026-03-31
• Keywords: two-microlocal space / ベゾフ空間 / ウェーブレット / Weyl calculus / 不確定性函数

Outline of Annual Research Achievements

本研究のまず第一の目的は，関数の各点ごとの特異性を調べるのに役立つ two-microlocal space の研究を推し進めることである．第二は，リジレット解析を推し進めることであり，超平面の方向を絞った上でリジレット解析を行い，更に two-microlocal space の考え方との比較検討を行う．第三に，第一・第二の研究をより複雑な特異性の解析にも対応出来る形にまで一般化することである．
その上で今回は，関数の各点ごとの特異性を調べるのに役立つ two-microlocal space の研究を推し進めることがかなり出来た．今後，リジレット解析を推し進め，two-microlocal space の考え方との比較検討を行う予定である．そもそもベゾフ空間の元の特徴付けは，展開されたウェーブレット係数の列をベゾフ的に測ることによって与えられる．従って，その測り方を上手く一般化した条件を考えることによって，より一般の興味深い函数空間が定義され，しかも，この函数空間の元はシンプルな良い分解をもつことが予想される．その際，拡張された分だけの特異性を表現する「剰余項」が函数の分解に現われる筈だが，これこそが two-microlocal estimate の真意である．従って，出来るだけ考え方を一般的にして，Weyl calculus に現われる一般的な不確定性函数を用いて two-microlocal space を定義し，その精緻な特徴付けを行うという実施計画であったが，今回はこのような方向性で two-microlocal space の研究を推し進めることがかなり出来たのである．

Current Status of Research Progress

2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.

Reason

関数の各点ごとの特異性を調べるのに役立つ two-microlocal space の研究を推し進めることがかなり出来たことが大きな理由である．そもそもベゾフ空間の元の特徴付けは，展開されたウェーブレット係数の列をベゾフ的に測ることによって与えられる．従って，その測り方を上手く一般化した条件を考えることによって，より一般の興味深い函数空間が定義され，しかも，この函数空間の元はシンプルな良い分解をもつことが予想される．その際，拡張された分だけの特異性を表現する「剰余項」が函数の分解に現われる筈だが，これこそが two-microlocal estimate の真意である．従って，出来るだけ考え方を一般的にして，Weyl calculus に現われる一般的な不確定性函数を用いて two-microlocal space を定義し，その精緻な特徴付けを行うという実施計画であったが，幸いなことに，当初実施計画の通り，このような方向性で two-microlocal space の研究を推し進めることがかなり出来たのである．

Strategy for Future Research Activity

今後は，超平面の方向を絞った上でリジレット解析を行い，更に two-microlocal space の考え方との比較検討を行う．更に，より複雑な特異性の解析にも対応出来る形にまで一般化する．具体的には，カンデス・ドノホのリジレット解析の超局所化を推し進め，函数のラドン変換から見た特異性を取り出すことを考える．即ち，ラドン変換を方向毎に計算することによってカンデス・ドノホのリジレット解析の超局所化を進めることであり，同時に，リジレット空間の理論をベゾフ空間の理論と同様に精緻に展開することである．そうすれば，「two-microlocal ridgelet space」のような函数空間論が実現され，これまでの two-microlocal estimate との比較検討も見通しの良いものになる筈である．各点毎の特異性解析であるウェーブレットを発展させて，より高次元の部分空間に沿った特異性解析や曲線・曲面に沿った特異性解析まで広く考えることも出来る．特に，カンデスによるカーブレット，Helgason によるグラスマン多様体上のラドン変換や，Bahouri--Fermanian-Kammerer--Gallagher による Heisenberg 群上の Weyl calculus を参照しつつ，これまでの研究の拡張を考える．
コロナの状況もあるが，研究者間の交流は主に国内・外国出張となる．研究集会への参加・発表・情報収集を行い，多くの国内外の研究者と討論し，研究遂行の糧としたい．