2022 Fiscal Year Research-status Report
ウェーブレットとラドン変換を用いた函数空間論の新たな展開
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21K03293
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| Research Institution | Nara Women's University |
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Principal Investigator |
森藤 紳哉 奈良女子大学, 自然科学系, 教授 (30273832)
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| Project Period (FY) |
2021-04-01 – 2026-03-31
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| Keywords | two-microlocal space / ベゾフ空間 / ウェーブレット / Weyl calculus / 不確定性関数 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本研究のまず第一の目的は，関数の各点ごとの特異性を調べるのに役立つtwo-microlocal spaceの研究を推し進めることである．第二は，リジレット解析を推し進めることであり，超平面の方向を絞った上でリジレット解析を行い，更にtwo-microlocal spaceの考え方との比較検討を行う．第三に，第一・第二の研究をより複雑な特異性の解析にも対応出来る形にまで一般化することである．
1年目は，関数の各点ごとの特異性を調べるのに役立つtwo-microlocal spaceの研究を推し進めることがかなり出来た．今回は，リジレット解析を推し進め，two-microlocal spaceの考え方との比較検討を，多くの具体例を用いて行うことが出来た．
そもそもベゾフ空間の元の特徴付けは，展開されたウェーブレット係数の列をベゾフ的に測ることによって与えられる．従って，その測り方を上手く一般化した条件を考えることによって，より一般の興味深い関数空間が定義され，しかも，この関数空間の元はシンプルな良い分解をもつことが予想される．その際，拡張された分だけの特異性を表現する「剰余項」が関数の分解に現われる筈だが，これこそがtwo-microlocal estimateの真意である．従って，出来るだけ考え方を一般的にして，Weyl calculusに現われる一般的な不確定性関数を用いてtwo-microlocalspaceを考えた前回（1年目）を踏まえ，今回（2年目）は，リジレット解析を推し進め，two-microlocal spaceの考え方との比較検討を多くの具体例を用いて行うことが出来た．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
関数の各点ごとの特異性を調べるのに役立つtwo-microlocal spaceの研究を推し進めた前回（1年目）を踏まえて，今回（2年目）はリジレット解析を推し進め，two-microlocal spaceの考え方との比較検討を多くの具体例を用いて行うことが出来た．これが大きな理由である．
そもそもベゾフ空間の元の特徴付けは，展開されたウェーブレット係数の列をベゾフ的に測ることによって与えられる．従って，その測り方を上手く一般化した条件を考えることによって，より一般の興味深い関数空間が定義され，しかも，この関数空間の元はシンプルな良い分解をもつことが予想される．その際，拡張された分だけの特異性を表現する「剰余項」が関数の分解に現われる筈だが，これこそがtwo-microlocal estimateの真意である．従って，出来るだけ考え方を一般的にして，Weyl calculusに現われる一般的な不確定性関数を用いてtwo-microlocalspaceを考えた前回（1年目）を踏まえ，今回（2年目）は，当初実施計画の通り，リジレット解析を推し進め，two-microlocal spaceの考え方との比較検討を多くの具体例を用いて行うことが出来たのである．
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| Strategy for Future Research Activity |
今後は，更により複雑な特異性の解析にも対応出来る形にまで問題を一般化することから始める．具体的には，カンデス・ドノホのリジレット解析の超局所化を推し進め，関数のラドン変換から見た特異性を取り出すことを考える．即ち，ラドン変換を方向毎に計算することによってカンデス・ドノホのリジレット解析の超局所化を進めることであり，同時に，リジレット空間の理論をベゾフ空間の理論と同様に精緻に展開することである．そうすれば，「two-microlocal ridgelet space」のような関数空間論が実現され，これまでのtwo-microlocal estimateとの比較検討も見通しの良いものになる筈である．各点毎の特異性解析であるウェーブレットを発展させて，より高次元の部分空間に沿った特異性解析や曲線・曲面に沿った特異性解析まで広く考えることも出来る．特に，カンデスによるカーブレット，Helgasonによるグラスマン多様体上のラドン変換や，Bahouri--Fermanian-Kammerer--GallagherによるHeisenberg群上のWeyl calculusを参照しつつ，これまでの研究の拡張を考える．
コロナの状況による制限的な研究生活も3年が過ぎ，今後の研究者間の交流は主に国内・外国出張となるであろう．研究集会への参加・発表・情報収集を行い，多くの国内外の研究者と討論し，研究遂行の糧としたい．
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