可解リー群およびその群環の表現に関わる調和解析の展開

2021 Fiscal Year Research-status Report

• Project/Area Number: 21K03294
• Research Institution: Tottori University
• Principal Investigator: 井上 順子 鳥取大学, 教育支援・国際交流推進機構, 教授 (40243886)
• Project Period (FY): 2021-04-01 – 2025-03-31
• Keywords: 可解リー群 / Lp-フーリエ変換 / ユニタリ表現 / 非可換調和解析

Outline of Annual Research Achievements

ユニモジュラー局所コンパクト群GのLpフーリエ変換(1<p<2)の解析については、これまでに研究代表者がBaklouti氏（スファックス大学）との共同研究を通して得た、群拡大に付随するLpフーリエ変換のノルム|Fp(G)|の評価に関する結果および計算手法を見直し、結果の改良の試みや必要な研究手法について検討した。Gがコンパクト群とユニモジュラー正規部分群Nの半直積群である場合には、これまでに得た上からの評価|Fp(G)|≦|Fp(N)|に対し、一般に|Fp(G)|=|Fp(N)|が成り立つかどうかが問題であるが、現在まだ解決していない。一方、コンパクト拡大でない一般の群拡大の例に対してこれまでに得られた上からのノルム評価は、例えばpの共役指数が偶数の場合Klein-Russoの結果やCowling-Martini-Muller-Parcetの結果との比較により最良ではないことが分かっており、今後ノルム評価の手法の改良が必要である。
リー群の群環L1(G)の構造の解析に関連して、正則表現に弱く含まれる(weakly contained)既約表現の行列要素のLp評価は重要であると考えられる。先行研究においてPoguntkeは既約表現の行列要素において群の中心を法とするLp評価や中心を法とするKunze-Stein現象の類似を導入した。このPoguntkeの結果について「2021年度表現論ワークショップ」で紹介し議論を行った。今後はここで展開された手法を指数型可解リー群の群環の解析に応用するため、低次元の指数型可解リー群等を対象として既約表現の行列要素に関わる（中心を法とする）Lp評価を、可解リー群の表現論における軌道の方法の視点から詳しく調べる計画である。

Current Status of Research Progress

3: Progress in research has been slightly delayed.

Reason

局所コンパクト群のLpフーリエ変換の解析については、これまでの研究結果や手法の再検討を行い、指数型可解リー群の群環の表現の解析については行列要素のLp評価に関する研究情報を得て、解析手法に関して検討を進めた。一方、それぞれの研究事項でまだ新しい計算例・結果が得られていないことから、研究課題の進捗状況としてはやや遅れていると判断した。

Strategy for Future Research Activity

指数型可解リー群の複素解析的誘導表現については、群の既約表現の半不変一般ベクトルに付随する行列要素の解析を進め，既約分解における重複度との関係を調べる。指数型可解リー群の群環の表現の解析については、低次元の指数型可解リー群等を対象として、既約表現の行列要素について中心を法とするLp評価を調べる。局所コンパクト群のLpフーリエ変換の解析については引き続きノルム評価の手法を検討する。

Causes of Carryover

新型コロナウイルスの感染拡大の影響で、参加予定だった研究集会がオンライン開催となった。また、海外の研究者との研究交流・共同研究も延期することになった。このため研究会の費用や旅費等が未使用となった。
次年度は、文献資料等による情報収集に加えて、対面での研究交流が可能になれば国内・海外での研究交流を再開する計画である。そのための費用・旅費等に繰越金と次年度の助成金を合わせた研究費を使用する計画である。