2022 Fiscal Year Research-status Report
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21K03295
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| Research Institution | Hiroshima University |
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Principal Investigator |
下村 哲 広島大学, 人間社会科学研究科(教), 教授 (50294476)
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| Project Period (FY) |
2021-04-01 – 2026-03-31
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| Keywords | ソボレフ関数 / 楕円型偏微分方程式 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
楕円型偏微分方程式の解について、存在と一意性、正則性などの解析的な性質を研究する方法はいくつかあるが、ペロンの方法に代表されるポテンシャル論的方法はその有力なものの一つである。本研究の目的は、ソボレフ関数を利用して、楕円型偏微分方程式の解がもつ解析的な性質をポテンシャル論的方法により研究することである。本年度は次のような研究を行った。
Musielak-Orlicz空間や積分形のMusielak-Orlicz-Morrey空間におけるTrudinger型の指数積分不等式、半空間における２重層汎関数に対するMorrey空間に属する関数のリースポテンシャルに対するTrudingerの不等式に関して成果を得た。
２重層汎関数に対する単調なソボレフ関数の球面平均に関する成果、単位球における２重層汎関数に対するHardy-Sobolevの不等式、２重層汎関数に対するLorentz空間に属する関数のリースポテンシャルに対するソボレフの不等式について成果を得た。
積分形の変動指数をもつMorrey空間に属する関数のリースポテンシャルや一般化された分数冪積分作用素に対するソボレフの不等式、距離空間の変動指数をもつMorrey空間上の一般化された分数冪積分作用素の有界性、central Herz-Morrey-Musielak-Orlicz空間に属する関数のリースポテンシャルに対するソボレフの不等式に関して成果を得た。Herz空間におけるHardy-Sobolevの不等式、超平面上のHerz空間における分数冪積分作用素の有界性について成果を得た。
２つの変動指数をもつソボレフ空間に対するコンパクトな埋め込みについて成果を得た。Nonhomogeneous central Morrey型空間における極大作用素やリースポテンシャル作用素の弱有界性についても成果を得た。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
1: Research has progressed more than it was originally planned.
Reason
Musielak-Orlicz空間や積分形のMusielak-Orlicz-Morrey空間などの関数空間において、Trudingerの不等式に関して成果を得た。積分形の変動指数をもつMorrey空間などに属する関数のリースポテンシャルに対するソボレフの不等式、２重層汎関数に対するHardy-Sobolevの不等式に関する結果、距離空間の変動指数をもつMorrey空間上の一般化された分数冪積分作用素の有界性などを得た。このように、本年度予定していた以上の成果を得ることができたから。
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| Strategy for Future Research Activity |
今後は、昨年度に得た結果の証明のアイディアをもとに、non-doubling測度距離空間上のMusielak-Orlicz-Morrey空間に関するソボレフの不等式やTrudingerの不等式などの研究に取り組み、変動指数をもつ関数空間上におけるソボレフ型定理を発展させ、応用として２重層汎関数に対する結果も発展させる予定である。
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| Causes of Carryover |
コロナ渦のため、予定されていた研究集会への参加や研究連絡を控えたりしたため、次年度使用額が生じた。本年度は、その繰り越し額と本年度予定されていた額を合わせて、研究課題に関連した研究集会等に参加したり研究連絡を行ったりして、本研究の遂行に努める予定である。
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