2021 Fiscal Year Research-status Report
Construction of the explicit theory of the Abelian functions based on the multivariable sigma functions
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21K03296
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| Research Institution | Osaka City University |
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Principal Investigator |
綾野 孝則 大阪市立大学, 数学研究所, 特別研究員 (50726213)
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| Project Period (FY) |
2021-04-01 – 2024-03-31
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| Keywords | アーベル関数 / 超楕円関数 / 楕円関数 / シグマ関数 / 代数曲線 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
(1) 楕円関数はアーベル関数の中で最も簡単で扱いやすいため、微分方程式のアーベル関数による解が得られたとき、それを楕円関数で表示できれば有用である。今年度は、種数2の超楕円曲線からある楕円曲線への次数2の射が存在する場合において、種数2の超楕円曲線に付随するアーベル関数をワイエルシュトラスの楕円関数で表示する公式を得た。これにより、KdV方程式のワイエルシュトラスの楕円関数による解が得られた。この結果に関する論文は、査読付きの海外の数学の雑誌``Symmetry, Integrability and Geometry: Methods and applications"に掲載された。また、この結果について日本数学会で発表した。
(2) 平面テレスコピック曲線に付随するシグマ関数のべき級数展開はフルビッツ整という良い性質を持つことが知られている。今年度はこの結果を一般のテレスコピック曲線に拡張した。論文がほぼ完成し、現在校正を行っている。
(3) ワイエルシュトラスの楕円関数の自然な拡張として得られる種数2の超楕円曲線に付随するアーベル関数と種数2の超楕円曲線に付随するシグマ関数から構成されるある2変数有理型関数は、シグマ関数の零点集合上で一致する。よって、多変数複素関数論の一般論により、この2つの有理型関数はシグマ関数と有理型関数の積に分解できる。今年度はこの分解を明示的に記述した。多変数複素関数論において、多変数の有理型関数を2つの有理型関数の積に分解するという問題は、重要な問題である。本研究では、多変数シグマ関数の理論を用いて、この問題に対する非自明な例を作った。この内容に関する論文を現在準備中である。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
代数曲線の間に射が定義できるとき、それらの代数曲線に付随するアーベル関数の間の明示的な関係式を導出することが本研究の目的の１つである。今年度は、最も基本的な場合である種数2の超楕円曲線から楕円曲線への次数2の射が存在する場合において、この問題を完全に解決し、査読付きの雑誌に論文を発表した。また、平面テレスコピック曲線のシグマ関数のべき級数展開のフルビッツ整性に関する結果の一般のテレスコピック曲線への一般化についても証明が完了し、論文を投稿できる段階に達した。また、多変数シグマ関数を用いて、多変数の有理型関数が2つの有理型関数の積に分解される非自明な例を構成するという課題も解決できた。このようなことから、研究はおおむね順調に進展していると言える。
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| Strategy for Future Research Activity |
昨年度は、種数2の超楕円曲線から楕円曲線への次数2の射が存在する場合において、種数2の超楕円曲線に付随するアーベル関数と楕円関数の間の関係について調べた。一方、種数2の超楕円曲線から楕円曲線への次数3の射が存在するとき、種数3の超楕円曲線から楕円曲線への次数2の射が存在するときについて、それらの代数曲線の定義方程式の標準形が知られている。上の2つの場合以外にも代数曲線の間に射が存在する場合の様々な例が知られている。これは代数曲線のヤコビ多様体をより種数の低い代数曲線のヤコビ多様体の直積に同種の違いを除いて分解するという問題と密接に関係しており、整数論などの分野で多くの研究がなされている。今後はこの知識をアーベル関数論に応用し、より種数の高い代数曲線に付随するアーベル関数の間の明示的な関係式を導出する。また、この結果の暗号理論への応用についても検討する。
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| Causes of Carryover |
新型コロナウィルスの影響で、日本数学会の秋季総合分科会、年会がオンラインでの開催となり、出張費が不要になったため。翌年度分の助成金は、日本数学会の秋季総合分科会、年会が対面開催となった場合、その出張費として使用する。また、数式処理ソフト、数学の専門書の購入費としても使用する。
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