2021 Fiscal Year Research-status Report
Nevanlinna theory and default functions on general spaces
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21K03299
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| Research Institution | Keio University |
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Principal Investigator |
厚地 淳 慶應義塾大学, 理工学部(矢上), 教授 (00221044)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
金子 宏 東京理科大学, 理学部第一部数学科, 教授 (90194919)
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| Project Period (FY) |
2021-04-01 – 2025-03-31
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| Keywords | ネヴァンリンナ理論 / グラフ上の拡散過程 / 有理形関数 / トロピカル幾何学 / ディリクレ形式 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
1.2021年度に研究期間を終了した挑戦的研究(萌芽)では、古典的関数論においてリーマン面上で成り立つことが知られているリーマン-ロッホの定理に対して、その無限グラフ上の類似について研究を行った。この研究で考察の対象とした無限グラフは、グラフの各頂点における次数が局所的には有限であるようなものである。この場合は、グラフ上のラプラス作用素のスペクトル・ギャップの評価が重要な役割を果たした。これに対し、超距離空間としてグラフを考える場合、次数の局所有限性が基本的に成り立たない。このため、このようなグラフに対してスペクトル・ギャップの評価を得ることは難しくなる。本研究では、このような局所有限性が成り立たないグラフに対して、スペクトル・ギャップの評価を用いずに、超距離空間の解析手法を用いてリーマン-ロッホの定理の類似の関数論的側面について考察し、いくつかの条件の下で成立することを証明した。本研究の成果はすでに査読を経た論文集に掲載予定である。
2.トロピカル幾何学の文脈で研究されているトロピカルネヴァンリンナ理論についての研究を行った。１次元の場合に知られているトロピカルネヴァンリンナ理論を拡張することを考えた。まず、１次元の場合を１次元グラフ上のネヴァンリンナ理論と考え、実数上のブラウン運動とその局所時間を用いて定式化した。この考え方を基礎として、一般のグラフ上のネヴァンリンナ理論の定式化について考察した。グラフ上の計量に対応する拡散過程をディリクレ形式の理論を用いてグラフ上に構成し、これを基礎として定式化した。さらに、有理形関数に対する古典的ネヴァンリンナ理論で重要な役割を果たす対数微分の補題のトロピカルネヴァンリンナ理論の類似について考察した。グラフに樹木構造を仮定することにより、１次元の場合に知られている対数微分の補題の類似がこのようなグラフ上でも成立することを示した。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
超距離空間としての局所有限性を持たないグラフに対するリーマン-ロッホの定理は順調に証明できた。また、グラフ上のネヴァンリンナ理論もグラフに樹木性を仮定しているが、既知の１次元の場合を含む形で拡張できており、研究は順調に進展している。
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| Strategy for Future Research Activity |
グラフ上のネヴァンリンナ理論について得られた成果を論文にまとめ、発表する。また、現在まで得られた成果を各地で行われているセミナーや学会で発表し、種々の分野の専門の研究者の意見を集約し、今後の研究の発展に生かす。また、劣調和関数の破綻関数の解析と関連して、微分幾何学的な最大値原理などとの関連についても検討を始めており、新たな方向の研究として展開する予定である。これにより、トロピカルネヴァンリンナ理論などの現在の研究と破綻関数の研究が融合され発展すると考えている。
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| Causes of Carryover |
新型コロナウィルス感染症蔓延のため、種々のセミナー、学会が中止もしくはオンライン開催となり、旅費による出張を中止したことなどにより、研究費の未使用分が生じた。次年度では、対面開催の研究集会の開催が予定されており、これに伴って出張費等に研究費を使用する予定である。
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