2021 Fiscal Year Research-status Report

Bergman空間に対するGleason問題・保存問題と積分作用素解析への応用

Research Project

Project/Area Number	21K03301
Research Institution	Tokai University
Principal Investigator	植木誠一郎東海大学, 理学部, 教授 (70512408)
Project Period (FY)	2021-04-01 – 2025-03-31
Keywords	チェザロ型積分作用素 / Bergman空間 / Fock空間 / Bloch空間 / 等距離作用素
Outline of Annual Research Achievements	本研究課題はGleason問題の可解性と解の表現公式、等距離作用素の表現といった保存問題の観点を取り入れ、チェザロ型積分作用素の解析を進めることを目標としている。今年度は、まず解析的Besov空間に着目し、この解析関数空間に適用可能な試験関数の構成を試み、その有用性を検証するために解析的Besov空間とBloch空間の間に作用する合成作用素の差の特徴づけに関する研究をおこなった。これは積分作用素よりも単純な形である合成作用素に適用することで試験関数の構成方法としての妥当性を評価するためである。作用素の特徴づけには円板における双曲的幾何に関する函数論的な性質が必要であることを明らかにした。この結果を足掛かりとして解析的Besov空間における積分作用素と等距離作用素の表現との相関関係を調べる新しい研究の方向性が見えてきた。次にN変数Fock空間に作用するVolterra型積分作用素の特徴づけ問題に着手した。Volterra型は本研究課題の対象であるCesaro型積分作用素の特別な場合であり、これまでの先行研究で得られた種々の解析手法を適用することにより、作用素を構成する表象関数の重み付きLp-可積分条件がVolterra型積分作用素のコンパクト性を特徴づけることを明らかにした。この結果は既存の結果を改良し、より簡易な条件による特徴づけを与えている。今回得られた結果と様々な評価不等式などはより複雑なCesaro型積分作用素の解析への応用が期待される。
Current Status of Research Progress	Current Status of Research Progress 2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned. Reason Cesaro型積分作用素の特別な場合であるが、Volterra型積分作用素の特徴づけ問題に大きな進展を与えることができたと考えている。試験関数の構成や評価不等式などについては未だ改良の余地を残しているので、すぐにCesaro型積分作用素に応用することはできないが、解析手法の確立のための方策が整いつつあると考えている。
Strategy for Future Research Activity	Bergman空間に類似した解析的Besov空間での研究を経て、この解析空間の等距離作用素の構造解析とGleason問題の解の表現公式なども研究の対象とすることで、本研究課題の目的でもある積分作用素の解析に新しい視点を取り入れることを実践していきたい。
Causes of Carryover	出張の計画をしていたが、コロナ禍の影響により学会をはじめとする参加予定の研究集会がすべてオンライン開催となったため、出張旅費・謝金がそのまま未使用となった。また、所属の大学での勤務制限などの影響もあり、予定していた図書・物品などの購入も計画通り実施できなかったこともあり、未使用額が多くなってしまった。これらの未使用額は翌年度分と合わせて必要な出張旅費、物品購入に充てるよていである。