2022 Fiscal Year Research-status Report

Semiclassical analysis of Schroedinger equations

Research Project

Project/Area Number	21K03303
Research Institution	Ritsumeikan University
Principal Investigator	藤家雪朗立命館大学, 理工学部, 教授 (00238536)
Project Period (FY)	2021-04-01 – 2024-03-31
Keywords	半古典解析 / 超局所解析 / 行列シュレディンガー方程式 / エネルギー交差 / WKB解析
Outline of Annual Research Achievements	2022年度における主な研究成果は、行列シュレディンガー作用素の量子共鳴の半古典極限における漸近分布につてのMarouane Assal (Univ. San Tiago), Kenta Higuchi (Ehime Univ.)との共同で研究である。退化したエネルギー交差をもつ１次元２行２列のモデルについて、量子共鳴の虚部の漸近挙動を、エネルギー交差の退化次数を用いて記述することに成功した。その鍵となるのは、退化した停留位相法である。１次元の退化した停留位相自体は難しくなく、古くから知られているが、交差点での接続公式の漸近展開の第２項が退化した相関数をもつ振動積分で表されることを明らかにした点に、この研究の意義がある。従来の研究では、退化した交差は考えられてこなかった。それは、退化しない場合に限っては、解析が容易な標準形への帰着が可能だからである。この研究成果は、現在論文として学術雑誌に投稿し、査読を待っているところである。この他、Mouez Dimassi (Univ. Bordeaux)との共著で、行列値作用素の超局所、半古典解析の教科書を執筆している。秋に２ヶ月ベトナムの研究所VIASMに二人で滞在し、執筆作業を進めた。この作業は現在も進行中である。
Current Status of Research Progress	Current Status of Research Progress 2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned. Reason エネルギー交差が引き起こす量子効果について、一時限の場合にはほぼ全容が解明したと言って良い。その意味で、当初の目的は順調に達成されたと考えている。
Strategy for Future Research Activity	今後これまでのモデルについての研究結果を、行列のサイズ、空間次元を一般に拡張したいと思う。行列のサイズについては、これまでの方法を少し改良することによって一般化が可能であるとの見通しが立っているが、次元の一般化については、今後の大きな課題である。
Causes of Carryover	コロナ禍により、2020年度から予定していた科研費による研究活動のほぼ全てが滞り、本年度の活動は2018年度からの補助金を活動資金として活用したため、本補助金に余剰金が生じた。２０２３年度は，１月のマルセイユでの国際研究集会への参加・講演，３月のボルドー大学への渡航など，研究活動が従来通り活発になり，余剰金の使用が予定されている。