2023 Fiscal Year Research-status Report
Semiclassical analysis of Schroedinger equations
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21K03303
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| Research Institution | Ritsumeikan University |
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Principal Investigator |
藤家 雪朗 立命館大学, 理工学部, 教授 (00238536)
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| Project Period (FY) |
2021-04-01 – 2025-03-31
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| Keywords | 行列シュレディンガー作用素 / エネルギー交差 / 量子共鳴 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
Santiago大学のMarouane Assal氏、愛媛大学の樋口健太氏との共同研究で、１次元の行列シュレディンガー作用素の量子共鳴の分布についての共同研究を行った。量子共鳴の半古典極限における漸近分布は、対応する古典力学系を密接な関係にあることが、Bohrの対応原理として予想されている。行列値ポテンシャルを持つシュレディンガー作用素は、量子化学におけるBorn-Oppenheimer近似によって導出される。このモデルにおいて、最も重要で興味深い問題は、エネルギー交差の問題である。行列値であることによって、古典軌道が行列のサイズの数だけ定義されるが、これらが互いに交差するときに量子現象として何が起こるかを、量子共鳴、特にその虚部の大きさ（状態の寿命の逆数を記述する）に焦点を当てて調べた。この問題はこれまで、Andre Martinez, 渡部拓也との共同研究でも探究してきたが、古典軌道の交差が接触的(tangential)である場合を扱ったのは、本研究が初めてである。接触的な交差点において、２つのincomingな古典軌道上の超局所解から２つのoutgoingな古典軌道上の超局所解を対応させる転送行列の半古典漸近展開を、subprincipalな項まで求めることが、この研究の鍵であり、本研究ではこれに成功した。転送行列のprincipalな項は単位行列で、交差点で軌道を変えずに伝播する確率振幅を記述し、subprincipalな項は接触字数に依存するhの多項式オーダーで、交差点で軌道を変える確率振幅を記述する。交差点が変わり点ではない場合については、すでに論文掲載が決まっている。交差点が変わり点の場合は、現在投稿中である。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
前項でも述べたように、共鳴の半古典漸近分布の問題は、古典軌道の交差点での転送行列の漸近挙動がわかれば良い。今年度の研究で、交差が有限次接触的である場合に超局所的な転送行列の漸近挙動がわかったことで、１次元の場合のエネルギー交差の問題はほぼ解決したと言える。その方法は、一次元の特殊性を生かした形になっていて、多次元に拡張するのはいまだに難しいが、その反対に、転送行列の漸近展開の問題を、２つの古典軌道の母関数の差を相関数とする停留位相近似の問題に帰着させたことは、問題の本質を明解にしたという意味で大きな収穫であったと思う。次項で述べるような2024年度以降の研究につながる研究成果であった。
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| Strategy for Future Research Activity |
行列シュレディンガー作用素の研究は、これまで空間１次元のモデルに対して詳しい解析を行なってきた。今後の研究の一つの方針は、これまでの研究成果の空間多次元の場合への拡張である。もちろん１次元での研究成果には、１次元の特殊性をフルに生かしたものも多く、そのまま多次元に拡張することは難しい。最初のステップとして、基礎的な事実として使ってきた「特異性の伝播」の問題を拡張することを考える。これはスカラー作用素の場合によく知られた事実であるが、行列値の場合、古典軌道の交差点における特異性の伝播は私の知る限りほとんど知られていない。これまでのAssalと樋口との共同研究で、１次元の場合に、１次元の特殊性を用いて証明した事実の１部を拡張して、以下の命題を証明することを第一の目標とする：相空間上の点が二つの異なる古典軌道上にあ離、この点において作用素Pのシンボルが超双曲型であるとする。この時、Pu=0の解uがincomingな二つの古典軌道上で超局所的に0であるならば、outgoingな二つの古典軌道上でも超局所的に0である。
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| Causes of Carryover |
Covidにより繰り越されてきた補助金を使うことができたためと、2024年度に海外渡航、国内での研究会開催など補助金の使用予定が前年に比べて多いため。
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