2022 Fiscal Year Research-status Report
平均振動量・増大度が一様でない関数空間の理論と応用
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21K03304
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| Research Institution | Ibaraki University |
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Principal Investigator |
中井 英一 茨城大学, 理工学研究科(理学野), 特任教授 (60259900)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
松岡 勝男 日本大学, 経済学部, 特任教授 (70165778)
堀内 利郎 茨城大学, 理工学研究科(理学野), 名誉教授 (80157057)
貞末 岳 大阪教育大学, 教育学部, 教授 (40324884)
米田 剛 一橋大学, 大学院経済学研究科, 教授 (30619086)
澤野 嘉宏 中央大学, 理工学部, 教授 (40532635)
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| Project Period (FY) |
2021-04-01 – 2026-03-31
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| Keywords | 関数空間 / 実解析学 / 調和解析学 / フーリエ解析学 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
今年度は、研究分担者や研究協力者との研究打合せ等は、すべて遠隔で行った。ドイツのアポルダで開催された国際研究集会「International Conference on Function Spaces and Applications」に招待され、遠隔で講演を行った。また、遠隔開催の国際研究集会「9th East Asian Conference in Harmonic Analysis and Applications」で講演を行った。これらにより、海外の研究者とも研究情報の交換を行った。以下、今年度に得られた研究成果を列挙する。
古典的な関数空間において確立されている H^1-BMO 双対性および VMO(CMO)-H^1 双対性の理論について、昨年度、平均振動量が一様でない関数空間（Campanato 空間）に拡張する理論が完成したが、これに関連して、増大度が一様でない関数空間（Morrey 空間）上での交換子 [b,T] のコンパクト性に関する研究を行った。ここで、T は特異積分作用素や一般化分数べき積分作用素、b は平均振動量が一様でない関数空間（Campanato 空間）の前々双対空間の元を掛ける作用素である。
ユークリッド空間における分数べき積分作用素の L^p-L^q 有界性と同様に、対称マルコフ半群においても分数べき積分作用素の L^p-L^q 有界性が知られていた。そこで、対称マルコフ半群において一般化分数べき積分作用素を導入して、L^p-L^q 有界性を Orlicz 空間上の有界性に拡張した。また、この結果を、ハイゼンベルグ群上の拡散現象に関する半群に応用した。さらに、ホモジニアス型空間上で一般化分数べき積分作用素の Orlicz 空間における有界性の必要十分条件を与えた。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
学会や研究集会への参加および研究打合せのため、当初予定していた出張がコロナ禍でできなくなった。しかし、遠隔で連絡をとるなどして、研究成果につなげることができて、おおむね予定していた進捗状況にある。特に、二つの国際研究集会に遠隔で参加できたことは大変大きな収穫であった。
これまで古典的な関数空間上で考察されてきた微分作用素・積分作用素や交換子などを、本研究のテーマである平均振動量や増大度が一様でない関数空間において考察した。具体的には、関数の掛算作用素と積分作用素の交換子を用いて、平均振動量が一様でない関数空間（Campanato 空間）の前々双対空間の特徴づけを行った。また、対称マルコフ半群においても一般化分数べき積分作用素の理論を展開できた。
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| Strategy for Future Research Activity |
これまで長年にわたって研究が積み重ねられてきたフーリエ解析の理論を、平均振動量・増大度が一様でない関数空間の視点から深化させるため、引き続き、H^1-BMO 双対性および VMO(CMO)-H^1 双対性の理論の拡張に関連した研究を進める。さらに、ナビエ・ストークス方程式等への応用を目指す。確率論におけるマルコフ半群やマルチンゲール理論をユークリッド空間上の調和解析に応用する試みを行う。また、調和解析学の原点であるフーリエ級数の収束問題とそれに関連する計算を進める。
研究分担者や研究協力者との共同研究を進めるため、出張または遠隔で研究打合せ等を行う。日本数学会の年会および秋季総合分科会や、実解析学シンポジウム等に参加して研究成果を発表して意見交換を行い、フィードバックを得て理論の深化と応用に結び付ける。国際研究集会を開催する代わりに、海外の研究者との遠隔交流を行う。
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| Causes of Carryover |
当初予定していた研究打合せおよび学会等への出張がコロナ禍によりできなくなり、代わりに遠隔会議やメール連絡等で代用した。一部は次年度に延期した。旅費として計上していた額が残った。次年度は、研究を加速させるために学会参加や研究協力者の招へい等に用いる計画である。
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