2022 Fiscal Year Research-status Report
特異性を伴う非線形偏微分方程式の解構造に着目した数学解析
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21K03312
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| Research Institution | Oita University |
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Principal Investigator |
渡邉 紘 大分大学, 理工学部, 准教授 (30609912)
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| Project Period (FY) |
2021-04-01 – 2025-03-31
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| Keywords | 衝撃波 / 希薄波 / ランキン・ユゴニオ条件 / 漸近挙動 / 界面の伝播速度 / フェーズ・フィールドモデル / 1-調和写像流 / 解の一意性 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
令和4年度では「(I-1) 強退化放物型方程式の特殊解の構成」, 「(I-2) 研究(I-1)で構成した特殊解の周りでのエントロピー解の漸近挙動」, 「(II) 結晶粒界現象を記述する数学モデルの解析」を行い, 以下の結果を得た.
(I-1) 強退化放物型方程式に対し, 移流項にはオレイニック衝撃波条件を課し, 拡散項の退化領域の連結成分の数が一般の自然数mの場合を考察した. このとき, 高々m個の不連続点を持つ衝撃波型の進行波を構成した. この結果は令和3年度の研究業績[Watanabe, J.D.E. (2021)]の拡張である. さらに応用として, 希薄波型のエントロピー劣解・優解を構成した.
(I-2) 強退化放物型方程式のエントロピー解が(I-1)で構成した特殊解へ弱い意味で漸近することを証明した. さらに, 構成した特殊解を用いて比較関数を構成し, 比較原理と組み合わせることで, コンパクトな台を持つ初期関数に対するエントロピー解の界面の進行速度を評価した.
(II) 研究協力者の白川氏(千葉大学), Moll氏(バレンシア大学)と共に3次元の結晶粒界現象を記述するKobayashi-Warren-Carter型モデルを考察した. まず, 3次元の結晶の方位差を3次元回転の四元数表現を用いて記述することで, フェーズ・フィールド方程式と重み付き緩和1-調和写像流の連立系としてモデルを導出した. このモデルをBarrett-Feng-Prohlの方針で解析し, 局所解の存在を得ることができた.
(I-1), (I-2)の成果は査読付き論文(1編)が出版された. (II)については昨年度研究したKobayashi-Warren-Carter型モデルの多次元非斉次ディリクレ境界値問題に関する査読付き論文(1編)が出版され, 3次元モデルに関する結果を投稿中である.
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
強退化放物型方程式の移流項にオレイニック衝撃波条件を課した場合に対して, 複数の不連続点を持つ進行波を構成することができ, 当初の目的を達成することができた. 一方で希薄型の解については優解・劣解の構成に留まっているが, オレイニック型エントロピー評価を導くことでより詳細な情報を得ることができると見込んでいる. エントロピー解の漸近挙動については計画通りChen-Fridの手法を適用することができ, エントロピー解の衝撃波型の進行波, 希薄波型の優解・劣解への弱い意味での漸近を得ることができた.
結晶粒界現象を記述する数学モデルに対しては, 3次元モデルの解析を行った点は大きな進展である. また解の一意性を得るための複数の手法をリストアップすることができており, 研究計画は順調に進んでいる.
以上より, 本研究の進捗状況は「おおむね順調に進展している」と判断した.
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| Strategy for Future Research Activity |
強退化放物型方程式に対しては, オレイニック型エントロピー評価を用いた解の減衰評価を導く. これにより, 有界かつ可積分なエントロピー解の挙動を解析することが可能になることが予想される. また, これまでに得られた成果を総括し, 境界値問題や連立系などへの応用を試みる.
結晶粒界現象を記述する数学モデルに対しては, 3次元モデルの解の挙動に関する結果を得ることを試みると共に, 解の一意性を得るためにリストアップされた方法をそれぞれ検討する. また研究協力者との対面での研究打合せを実施し, 研究の更なる進展を図る.
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| Causes of Carryover |
物品購入の優先順位を変更したため, 物品費に未使用額が生じている. 未購入物品については令和5年度以降の予算と合算して購入を検討する.
令和3年度がコロナ禍であったため, 出張をすることができなかった分の出張費未使用分がまだ残っている状況である. 今年度は国内・国外共に出張を再開できているため, 次年度以降に使用する予定である.
その他については, 令和5年度以降の予算と合算にして査読付き論文のオープンアクセス費として使用する予定である.
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